微积分学示例

$lim_{x \to 0} x^{3} \ln (x)$

解题步骤 1

将左右极限改为右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} x^{3} \ln (x)$

解题步骤 2

将 $x^{3} \ln (x)$ 重写为 $\frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

解题步骤 3.1.2

当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时， $\ln (x)$ 无限递减。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{3}}}$

解题步骤 3.1.3.2

因为分子是常数且当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时分母趋于 $0$ ，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于无穷大。

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 3.1.3.3

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 3.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

解题步骤 3.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 x^{- 4}}$

解题步骤 3.3.4

化简。

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解题步骤 3.3.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 \frac{1}{x^{4}}}$

解题步骤 3.3.4.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3}{x^{4}}}$

解题步骤 3.3.4.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{3}{x^{4}}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{x^{4}}{3})$

解题步骤 3.5

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{x^{4}}{3}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{4}}{x \cdot 3}$

解题步骤 3.6

约去 $x^{4}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

解题步骤 3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.2.1

从 $x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x (3)}$

解题步骤 3.6.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

解题步骤 3.6.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{3}}{3}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{3}}{3}$

解题步骤 4.2

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x^{3}$

解题步骤 4.3

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$- \frac{1}{3} {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}$

解题步骤 5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot 0$

解题步骤 6.2

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 (\frac{1}{3})$

解题步骤 6.2.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$0$

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