微积分学示例

$f (x) = - 4 x^{2}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = - 4 {(x + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = - 4 ((x + h) (x + h))$

解题步骤 2.1.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = - 4 (x (x + h) + h (x + h))$

解题步骤 2.1.2.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = - 4 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

解题步骤 2.1.2.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = - 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

解题步骤 2.1.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

解题步骤 2.1.2.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.3.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

解题步骤 2.1.2.3.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

解题步骤 2.1.2.4

运用分配律。

$f (x + h) = - 4 x^{2} - 4 (2 h x) - 4 h^{2}$

解题步骤 2.1.2.5

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f (x + h) = - 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2}$

解题步骤 2.1.2.6

最终答案为 $- 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2}$ 。

$- 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2}$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $- 4 x^{2}$ 。

$- 8 h x - 4 h^{2} - 4 x^{2}$

解题步骤 2.2.2

将 $- 8 h x$ 和 $- 4 h^{2}$ 重新排序。

$- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2}$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = - 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2}$

$f (x) = - 4 x^{2}$

$f (x + h) = - 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2}$

$f (x) = - 4 x^{2}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} - (- 4 x^{2})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + 4 x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.2

将 $4 x^{2}$ 重写为 ${(2 x)}^{2}$ 。

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + {(2 x)}^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.3

将 $4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$ 重写为 ${(2 h + 2 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $4 h^{2}$ 重写为 ${(2 h)}^{2}$ 。

$\frac{- ({(2 h)}^{2} + 8 h x + 4 x^{2}) + {(2 x)}^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $4 x^{2}$ 重写为 ${(2 x)}^{2}$ 。

$\frac{- ({(2 h)}^{2} + 8 h x + {(2 x)}^{2}) + {(2 x)}^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$8 h x = 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x)$

解题步骤 4.1.3.4

重写多项式。

$\frac{- ({(2 h)}^{2} + 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x) + {(2 x)}^{2}) + {(2 x)}^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.3.5

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 2 h$ 和 $b = 2 x$ 。

$\frac{- {(2 h + 2 x)}^{2} + {(2 x)}^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $- {(2 h + 2 x)}^{2}$ 和 ${(2 x)}^{2}$ 重新排序。

$\frac{{(2 x)}^{2} - {(2 h + 2 x)}^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 x$ 和 $b = 2 h + 2 x$ 。

$\frac{(2 x + 2 h + 2 x) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

解题步骤 4.1.6

化简。

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解题步骤 4.1.6.1

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{(4 x + 2 h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

解题步骤 4.1.6.2

从 $4 x + 2 h$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.1.6.2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{(2 (2 x) + 2 h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

解题步骤 4.1.6.2.2

从 $2 h$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{(2 (2 x) + 2 h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

解题步骤 4.1.6.2.3

从 $2 (2 x) + 2 h$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

解题步骤 4.1.6.3

运用分配律。

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - (2 h) - (2 x))}{h}$

解题步骤 4.1.6.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - 2 h - (2 x))}{h}$

解题步骤 4.1.6.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - 2 h - 2 x)}{h}$

解题步骤 4.1.6.6

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{2 (2 x + h) (- 2 h + 0)}{h}$

解题步骤 4.1.6.7

将 $- 2 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (2 x + h) \cdot - 2 h}{h}$

解题步骤 4.1.6.8

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 4 (2 x + h) h}{h}$

解题步骤 4.2

化简项。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 (2 x + h) h}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $- 4 (2 x + h)$ 除以 $1$ 。

$- 4 (2 x + h)$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$- 4 (2 x) - 4 h$

解题步骤 4.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$- 8 x - 4 h$

解题步骤 5

微积分学 示例

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