微积分学示例

$2 x e^{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x e^{x^{2} - 4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2} - 4 x}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x^{2} - 4 x}$ 。

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 4 x}) + e^{x^{2} - 4 x} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4 x$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 4 x$ 。

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x)) + e^{x^{2} - 4 x} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x)) + e^{x^{2} - 4 x} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.3.3

使用 $x^{2} - 4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 4 x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x)) + e^{x^{2} - 4 x} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

根据加法法则， $x^{2} - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$f' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 4 x} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x))) + e^{x^{2} - 4 x} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x))) + e^{x^{2} - 4 x} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.4.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4 \frac{d}{d x} x)) + e^{x^{2} - 4 x} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4 \cdot 1)) + e^{x^{2} - 4 x} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.4.5

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)) + e^{x^{2} - 4 x} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)) + e^{x^{2} - 4 x} \cdot 1)$

解题步骤 1.4.7

将 $e^{x^{2} - 4 x}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)) + e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$f' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4))) + 2 e^{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 1.5.2

重新排序项。

$f' (x) = 2 e^{x^{2} - 4 x} x (2 x - 4) + 2 e^{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 e^{x^{2} - 4 x} x (2 x - 4) + 2 e^{x^{2} - 4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2} - 4 x} x (2 x - 4)] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2} - 4 x}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x} x (2 x - 4)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2} - 4 x} x (2 x - 4)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x^{2} - 4 x} x (2 x - 4)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 4 x} x (2 x - 4)]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 4 x} x (2 x - 4)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x^{2} - 4 x} x$ 且 $g (x) = 2 x - 4$ 。

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 4 x} x \frac{d}{d x} (2 x - 4) + (2 x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 4 x} x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.3

根据加法法则， $2 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 4 x} x (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (2 x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 4 x} x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 4 x} x (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (2 x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 4 x} x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 4 x} x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (2 x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 4 x} x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.6

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 4 x} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 4 x} x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.7

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x^{2} - 4 x}$ 且 $g (x) = x$ 。

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 4 x} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} \frac{d}{d x} (x) + x \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 4 x}))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 4 x} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 4 x}))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4 x$ 。

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解题步骤 2.2.9.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} - 4 x$ 。

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 4 x} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.9.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 4 x} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} \cdot 1 + x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.9.3

使用 $x^{2} - 4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 4 x} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 4 x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.10

根据加法法则， $x^{2} - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 4 x} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 4 x} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x))))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 4 x} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x))))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.12

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 4 x} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4 \frac{d}{d x} x)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 4 x} x (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.14

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 4 x} x (2 + 0) + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.15

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 (e^{x^{2} - 4 x} x \cdot 2 + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.16

将 $2$ 移到 $e^{x^{2} - 4 x} x$ 的左侧。

$f'' (x) = 2 (2 \cdot (e^{x^{2} - 4 x} x) + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} \cdot 1 + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.17

将 $e^{x^{2} - 4 x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 4 x} x + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.2.18

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 4 x} x + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2} - 4 x}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x^{2} - 4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2} - 4 x}]$ 。

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 4 x} x + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)))) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 4 x})$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4 x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2} - 4 x$ 。

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 4 x} x + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)))) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x))$

解题步骤 2.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 4 x} x + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)))) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x))$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $x^{2} - 4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 4 x} x + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)))) + 2 (e^{x^{2} - 4 x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x))$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $x^{2} - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 4 x} x + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)))) + 2 (e^{x^{2} - 4 x} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 4 x} x + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)))) + 2 (e^{x^{2} - 4 x} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x)))$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 4 x} x + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)))) + 2 (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4 \frac{d}{d x} x))$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 4 x} x + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)))) + 2 (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4 \cdot 1))$

解题步骤 2.3.7

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 4 x} x + (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)))) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = 2 (2 e^{x^{2} - 4 x} x) + 2 ((2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)))) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 2 (2 x - 4) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4))) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3

化简每一项。

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解题步骤 2.4.3.1

运用分配律。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + (2 (2 x) + 2 \cdot - 4) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4))) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + (4 x + 2 \cdot - 4) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4))) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + (4 x - 8) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4))) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.4

化简每一项。

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解题步骤 2.4.3.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + (4 x - 8) (e^{x^{2} - 4 x} + x (e^{x^{2} - 4 x} (2 x) + e^{x^{2} - 4 x} \cdot - 4)) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + (4 x - 8) (e^{x^{2} - 4 x} + x (2 e^{x^{2} - 4 x} x + e^{x^{2} - 4 x} \cdot - 4)) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.4.3

将 $- 4$ 移到 $e^{x^{2} - 4 x}$ 的左侧。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + (4 x - 8) (e^{x^{2} - 4 x} + x (2 e^{x^{2} - 4 x} x - 4 \cdot e^{x^{2} - 4 x})) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.4.4

运用分配律。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + (4 x - 8) (e^{x^{2} - 4 x} + x (2 e^{x^{2} - 4 x} x) + x (- 4 e^{x^{2} - 4 x})) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.4.5

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + (4 x - 8) (e^{x^{2} - 4 x} + 2 x (e^{x^{2} - 4 x} x) + x (- 4 e^{x^{2} - 4 x})) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.4.6

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + (4 x - 8) (e^{x^{2} - 4 x} + 2 x (e^{x^{2} - 4 x} x) - 4 x e^{x^{2} - 4 x}) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.4.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.3.4.7.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + (4 x - 8) (e^{x^{2} - 4 x} + 2 (x \cdot x) e^{x^{2} - 4 x} - 4 x e^{x^{2} - 4 x}) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.4.7.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + (4 x - 8) (e^{x^{2} - 4 x} + 2 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} - 4 x e^{x^{2} - 4 x}) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.5

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 x - 8) (e^{x^{2} - 4 x} + 2 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} - 4 x e^{x^{2} - 4 x})$ 。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 4 x e^{x^{2} - 4 x} + 4 x (2 x^{2} e^{x^{2} - 4 x}) + 4 x (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) - 8 e^{x^{2} - 4 x} - 8 (2 x^{2} e^{x^{2} - 4 x}) - 8 (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.6

化简每一项。

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解题步骤 2.4.3.6.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.3.6.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 4 x e^{x^{2} - 4 x} + 4 (x^{2} x) (2 e^{x^{2} - 4 x}) + 4 x (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) - 8 e^{x^{2} - 4 x} - 8 (2 x^{2} e^{x^{2} - 4 x}) - 8 (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.6.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.3.6.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.4.3.6.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 4 x e^{x^{2} - 4 x} + 4 x^{2 + 1} (2 e^{x^{2} - 4 x}) + 4 x (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) - 8 e^{x^{2} - 4 x} - 8 (2 x^{2} e^{x^{2} - 4 x}) - 8 (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.6.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 4 x e^{x^{2} - 4 x} + 4 x^{3} (2 e^{x^{2} - 4 x}) + 4 x (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) - 8 e^{x^{2} - 4 x} - 8 (2 x^{2} e^{x^{2} - 4 x}) - 8 (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 4 x e^{x^{2} - 4 x} + 4 \cdot (2 x^{3} e^{x^{2} - 4 x}) + 4 x (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) - 8 e^{x^{2} - 4 x} - 8 (2 x^{2} e^{x^{2} - 4 x}) - 8 (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.6.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 4 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} + 4 x (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) - 8 e^{x^{2} - 4 x} - 8 (2 x^{2} e^{x^{2} - 4 x}) - 8 (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.6.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.4.3.6.4.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 4 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} + 4 (x \cdot x) (- 4 e^{x^{2} - 4 x}) - 8 e^{x^{2} - 4 x} - 8 (2 x^{2} e^{x^{2} - 4 x}) - 8 (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.6.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 4 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} + 4 x^{2} (- 4 e^{x^{2} - 4 x}) - 8 e^{x^{2} - 4 x} - 8 (2 x^{2} e^{x^{2} - 4 x}) - 8 (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.6.5

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 4 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} + 4 \cdot (- 4 x^{2} e^{x^{2} - 4 x}) - 8 e^{x^{2} - 4 x} - 8 (2 x^{2} e^{x^{2} - 4 x}) - 8 (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.6.6

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 4 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} - 8 e^{x^{2} - 4 x} - 8 (2 x^{2} e^{x^{2} - 4 x}) - 8 (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.6.7

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 4 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} - 8 e^{x^{2} - 4 x} - 16 (x^{2} e^{x^{2} - 4 x}) - 8 (- 4 x e^{x^{2} - 4 x}) + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.6.8

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 4 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} - 8 e^{x^{2} - 4 x} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} + 32 x e^{x^{2} - 4 x} + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.7

将 $4 x e^{x^{2} - 4 x}$ 和 $32 x e^{x^{2} - 4 x}$ 相加。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 36 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} - 8 e^{x^{2} - 4 x} - 16 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.8

从 $- 16 x^{2} e^{x^{2} - 4 x}$ 中减去 $16 x^{2} e^{x^{2} - 4 x}$ 。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 36 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} - 32 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} - 8 e^{x^{2} - 4 x} + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x - 4)$

解题步骤 2.4.3.9

运用分配律。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 36 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} - 32 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} - 8 e^{x^{2} - 4 x} + 2 e^{x^{2} - 4 x} (2 x) + 2 e^{x^{2} - 4 x} \cdot - 4$

解题步骤 2.4.3.10

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 36 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} - 32 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} - 8 e^{x^{2} - 4 x} + 2 \cdot (2 e^{x^{2} - 4 x} x) + 2 e^{x^{2} - 4 x} \cdot - 4$

解题步骤 2.4.3.11

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 36 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} - 32 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} - 8 e^{x^{2} - 4 x} + 2 \cdot (2 e^{x^{2} - 4 x} x) - 8 e^{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 2.4.3.12

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 4 x} x + 36 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} - 32 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} - 8 e^{x^{2} - 4 x} + 4 e^{x^{2} - 4 x} x - 8 e^{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 2.4.4

将 $4 e^{x^{2} - 4 x} x$ 和 $36 x e^{x^{2} - 4 x}$ 相加。

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解题步骤 2.4.4.1

移动 $e^{x^{2} - 4 x}$ 。

$f'' (x) = 4 x e^{x^{2} - 4 x} + 36 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} - 32 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} - 8 e^{x^{2} - 4 x} + 4 e^{x^{2} - 4 x} x - 8 e^{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 2.4.4.2

将 $4 x e^{x^{2} - 4 x}$ 和 $36 x e^{x^{2} - 4 x}$ 相加。

$f'' (x) = 40 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} - 32 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} - 8 e^{x^{2} - 4 x} + 4 e^{x^{2} - 4 x} x - 8 e^{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 2.4.5

将 $40 x e^{x^{2} - 4 x}$ 和 $4 e^{x^{2} - 4 x} x$ 相加。

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解题步骤 2.4.5.1

移动 $e^{x^{2} - 4 x}$ 。

$f'' (x) = 40 x e^{x^{2} - 4 x} + 4 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} - 32 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} - 8 e^{x^{2} - 4 x} - 8 e^{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 2.4.5.2

将 $40 x e^{x^{2} - 4 x}$ 和 $4 x e^{x^{2} - 4 x}$ 相加。

$f'' (x) = 44 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} - 32 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} - 8 e^{x^{2} - 4 x} - 8 e^{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 2.4.6

从 $- 8 e^{x^{2} - 4 x}$ 中减去 $8 e^{x^{2} - 4 x}$ 。

$f'' (x) = 44 x e^{x^{2} - 4 x} + 8 x^{3} e^{x^{2} - 4 x} - 32 x^{2} e^{x^{2} - 4 x} - 16 e^{x^{2} - 4 x}$

微积分学 示例

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