微积分学示例

$6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$ 。

$\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $6$ 对于 $y$ 是常数，所以 $6 y^{\frac{5}{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}]$ 。

$6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.5

在公分母上合并分子。

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.6.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.7

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $y^{\frac{3}{2}}$ 。

$6 \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.8

组合 $6$ 和 $\frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2}$ 。

$\frac{6 (5 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.9

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$\frac{30 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.10

从 $30 y^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.11

约去公因数。

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解题步骤 1.2.11.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.11.2

约去公因数。

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.11.3

重写表达式。

$\frac{15 y^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.2.11.4

用 $15 y^{\frac{3}{2}}$ 除以 $1$ 。

$15 y^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- 5 x y]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 5 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 5 x y$ 对 $y$ 的导数是 $- 5 x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

解题步骤 1.4

因为 $- 7 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 7 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + 0$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$ 和 $0$ 相加。

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$

解题步骤 1.5.2

重新排序项。

$f' (y) = - 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $- 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.1.2

因为 $- 5 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $15$ 对于 $y$ 是常数，所以 $15 y^{\frac{3}{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ 。

$0 + 15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 2.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 2.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.2.5

在公分母上合并分子。

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.2.6

化简分子。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}})$

解题步骤 2.2.6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.2.7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$0 + 15 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2.2.8

组合 $15$ 和 $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$0 + \frac{15 (3 y^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 2.2.9

将 $3$ 乘以 $15$ 。

$0 + \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ 相加。

$f'' (y) = \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

微积分学 示例

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