微积分学示例

$15 x \sin (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ 。

$15 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$15 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$15 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$15 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

解题步骤 1.4.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$15 (x \cos (x) + \sin (x))$

解题步骤 1.5

运用分配律。

$f' (x) = 15 x \cos (x) + 15 \sin (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $15 x \cos (x) + 15 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [15 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [15 x \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ 。

$15 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$15 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

解题步骤 2.2.5

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 15 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 15 \cos (x)$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$15 (x (- \sin (x))) + 15 \cos (x) + 15 \cos (x)$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$- 15 (x (\sin (x))) + 15 \cos (x) + 15 \cos (x)$

解题步骤 2.4.2.2

将 $15 \cos (x)$ 和 $15 \cos (x)$ 相加。

$f'' (x) = - 15 x \sin (x) + 30 \cos (x)$

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