微积分学示例

$\cos (3 x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.1.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 \sin (3 x) \cdot 1$

解题步骤 1.2.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - 3 \sin (3 x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 \sin (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$- 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$- 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 2.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 3 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$- 9 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 9 \cos (3 x) \cdot 1$

解题步骤 2.3.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 9 \cos (3 x)$

微积分学 示例

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