微积分学示例

$x^{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1.1

将 $x^{x}$ 重写为 $e^{\ln (x^{x})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

解题步骤 1.1.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{x})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x \ln (x)$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 1.2.3

使用 $x \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 1.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.5.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.5.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

约去公因数。

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.5.2.2

重写表达式。

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 1.5.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

运用分配律。

$e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 1.6.2

将 $e^{x \ln (x)}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 1.6.3

重新排序项。

$f' (x) = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)} \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x \ln (x)}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 2.2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x \ln (x)$ 。

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 2.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x \ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 2.2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 2.2.5

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 2.2.7

组合 $e^{x \ln (x)}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 2.2.8

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 2.2.9

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.9.1

约去公因数。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 2.2.9.2

重写表达式。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 2.2.10

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 2.2.11

要将 $\ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \frac{\ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 2.2.12

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x \ln (x)$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 2.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $x \ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 2.3.5

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 2.3.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.1

约去公因数。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 2.3.6.2

重写表达式。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 2.3.7

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$\frac{e^{x \ln (x)} + (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

解题步骤 2.4.3

运用分配律。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) x + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

解题步骤 2.4.4

运用分配律。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) x + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 2.4.5

合并项。

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解题步骤 2.4.5.1

将 $e^{x \ln (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 2.4.5.2

对 $\ln (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{1} (x) \ln (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 2.4.5.3

对 $\ln (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{1} (x) \ln^{1} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 2.4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + {\ln (x)}^{1 + 1} e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 2.4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 2.4.5.6

将 $e^{x \ln (x)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 2.4.5.7

要将 $e^{x \ln (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + \frac{e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 2.4.5.8

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 2.4.5.9

要将 $e^{x \ln (x)} \ln (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x} + \frac{e^{x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

解题步骤 2.4.5.10

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

解题步骤 2.4.5.11

将 $e^{x \ln (x)}$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{e^{x \ln (x)} + x e^{x \ln (x)} \ln (x) + x e^{x \ln (x)} \ln (x) + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x}$

解题步骤 2.4.5.12

将 $x e^{x \ln (x)} \ln (x)$ 和 $x e^{x \ln (x)} \ln (x)$ 相加。

$\frac{e^{x \ln (x)} + 2 x e^{x \ln (x)} \ln (x) + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x}$

解题步骤 2.4.6

重新排序项。

$\frac{2 e^{x \ln (x)} x \ln (x) + e^{x \ln (x)} x \ln^{2} (x) + e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)}}{x}$

解题步骤 2.4.7

将 $\frac{2 e^{x \ln (x)} x \ln (x) + e^{x \ln (x)} x \ln^{2} (x) + e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)}}{x}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = \frac{2 x e^{x \ln (x)} \ln (x) + x e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x) + x e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)}}{x}$

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