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微积分学 示例
, ,
解题步骤 1
要求立方体的体积,首先确定每一切面的面积,然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 和 的圆的面积。
当 和 时,
解题步骤 2
解题步骤 2.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 2.2
对 运用乘积法则。
解题步骤 2.3
对 进行 次方运算。
解题步骤 2.4
将 重写为 。
解题步骤 2.4.1
使用 ,将 重写成 。
解题步骤 2.4.2
运用幂法则并将指数相乘,。
解题步骤 2.4.3
组合 和 。
解题步骤 2.4.4
约去 的公因数。
解题步骤 2.4.4.1
约去公因数。
解题步骤 2.4.4.2
重写表达式。
解题步骤 2.4.5
化简。
解题步骤 2.5
将 乘以 。
解题步骤 3
将单个积分拆分为多个积分。
解题步骤 4
应用常数不变法则。
解题步骤 5
由于 对于 是常数,所以将 移到积分外。
解题步骤 6
根据幂法则, 对 的积分是 。
解题步骤 7
解题步骤 7.1
组合 和 。
解题步骤 7.2
代入并化简。
解题步骤 7.2.1
计算 在 处和在 处的值。
解题步骤 7.2.2
计算 在 处和在 处的值。
解题步骤 7.2.3
化简。
解题步骤 7.2.3.1
将 乘以 。
解题步骤 7.2.3.2
将 乘以 。
解题步骤 7.2.3.3
将 和 相加。
解题步骤 7.2.3.4
一的任意次幂都为一。
解题步骤 7.2.3.5
对 进行任意正数次方的运算均得到 。
解题步骤 7.2.3.6
约去 和 的公因数。
解题步骤 7.2.3.6.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 7.2.3.6.2
约去公因数。
解题步骤 7.2.3.6.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 7.2.3.6.2.2
约去公因数。
解题步骤 7.2.3.6.2.3
重写表达式。
解题步骤 7.2.3.6.2.4
用 除以 。
解题步骤 7.2.3.7
将 乘以 。
解题步骤 7.2.3.8
将 和 相加。
解题步骤 7.2.3.9
组合 和 。
解题步骤 7.2.3.10
约去 和 的公因数。
解题步骤 7.2.3.10.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 7.2.3.10.2
约去公因数。
解题步骤 7.2.3.10.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 7.2.3.10.2.2
约去公因数。
解题步骤 7.2.3.10.2.3
重写表达式。
解题步骤 7.2.3.10.2.4
用 除以 。
解题步骤 7.2.3.11
从 中减去 。
解题步骤 7.2.3.12
将 移到 的左侧。
解题步骤 8
结果可以多种形式表示。
恰当形式:
小数形式:
解题步骤 9