微积分学示例

$y = \arctan (\sqrt{7 x^{2} - 1})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7 x^{2} - 1}$ 重写成 ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \arctan ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

$\arctan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.3

使用 ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{1 + {({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

将 ${({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.3

化简。

$\frac{1}{1 + 7 x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.4

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{7 x^{2} + 0} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.4.2

将 $7 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{7 x^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 7 x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 4.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $7 x^{2} - 1$ 。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.5.3

使用 $7 x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.9

化简分子。

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解题步骤 4.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.10

合并分数。

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解题步骤 4.10.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{{(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

解题步骤 4.10.4

将 $\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{7 x^{2}}$ 。

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (7 x^{2})} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1]$

解题步骤 4.10.5

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1]$

解题步骤 4.11

根据加法法则， $7 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.12

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.14

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 4.15

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x + 0)$

解题步骤 4.16

化简项。

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解题步骤 4.16.1

将 $14 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x)$

解题步骤 4.16.2

组合 $14$ 和 $\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ 。

$\frac{14}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} x$

解题步骤 4.16.3

组合 $\frac{14}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{14 x}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.16.4

约去公因数。

$\frac{14 x}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.16.5

重写表达式。

$\frac{x}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.17

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1}}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.18

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 1}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 4.19

约去公因数。

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解题步骤 4.19.1

从 ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 1}{x ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}$

解题步骤 4.19.2

约去公因数。

$\frac{x \cdot 1}{x ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}$

解题步骤 4.19.3

重写表达式。

$\frac{1}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 4.20

重新排序项。

$\frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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