微积分学示例

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = | \sec (x) + \tan (x) |$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $| \sec (x) + \tan (x) |$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

解题步骤 3.1.3

使用 $| \sec (x) + \tan (x) |$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sec (x) + \tan (x)$ 。

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

解题步骤 3.2.2

$| u_{2} |$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 。

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

解题步骤 3.2.3

使用 $\sec (x) + \tan (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

解题步骤 3.3

将 $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) |}$ 乘以 $\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |}$ 。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) | | \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 3.4

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 3.5

对 $\sec (x) + \tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} (\sec (x) + \tan (x)) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 3.6

对 $\sec (x) + \tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 3.8

使用求加法法则求导。

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解题步骤 3.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

解题步骤 3.8.2

根据加法法则， $\sec (x) + \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 3.9

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

解题步骤 3.10

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

解题步骤 3.11

化简。

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解题步骤 3.11.1

重新排序 $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ 的因式。

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |}$

解题步骤 3.11.2

从绝对值中去掉非负项。

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{\sec (x) + \tan (x)}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3

约去 $\sec (x) + \tan (x)$ 和 ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.11.3.1

乘以 $1$ 。

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

解题步骤 3.11.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.11.3.2.1

从 ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ 中分解出因数 $\sec (x) + \tan (x)$ 。

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))}$

解题步骤 3.11.3.2.2

约去公因数。

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))}$

解题步骤 3.11.3.2.3

重写表达式。

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 3.11.4

运用分配律。

$\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 3.11.5

乘以 $\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ 。

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解题步骤 3.11.5.1

组合 $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ 和 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 3.11.5.2

组合 $\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ 和 $\tan (x)$ 。

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 3.11.6

组合 $\sec^{2} (x)$ 和 $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ 。

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 3.11.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 3.11.8

从 $\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 3.11.8.1

从 $\sec (x) \tan (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 3.11.8.2

从 $\sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 3.11.8.3

从 $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

微积分学 示例

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