微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{2})}^{i}$

解题步骤 1

无穷等比数列的和可以用公式 $\frac{a}{1 - r}$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $a_{i}$ 和 $a_{i + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{i}}$

解题步骤 2.2

约去 ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1}$ 和 ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

从 ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1}$ 中分解出因数 ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ 。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i}}$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{- \frac{1}{2}}{1}$

解题步骤 2.2.2.4

用 $- \frac{1}{2}$ 除以 $1$ 。

$r = - \frac{1}{2}$

解题步骤 3

由于 $| r | < 1$ ，级数收敛。

解题步骤 4

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $1$ 代入 ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ 以替换 $i$ 。

$a = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

解题步骤 4.2

化简。

$a = - \frac{1}{2}$

解题步骤 5

将公比和首项的值代入求和公式。

$\frac{- \frac{1}{2}}{1 - - \frac{1}{2}}$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - - \frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

乘以 $- - \frac{1}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 1}{2}}$

解题步骤 6.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{2} (1 (\frac{2}{3}))$

解题步骤 6.4

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

解题步骤 6.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

解题步骤 6.5.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

解题步骤 6.5.3

重写表达式。

$- \frac{1}{3}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{3}$

小数形式：

$- 0.\overline{3}$

微积分学 示例

微积分学示例