微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{\infty} 4 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}$

解题步骤 1

无穷等比数列的和可以用公式 $\frac{a}{1 - r}$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{i}$ 和 $a_{i + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

解题步骤 2.2.2

约去 ${(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}$ 和 ${(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 ${(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}$ 中分解出因数 ${(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ 。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

解题步骤 2.2.2.2.4

用 ${(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ 除以 $1$ 。

$r = {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

解题步骤 2.2.3

将 $i$ 和 $0$ 相加。

$r = {(\frac{2}{3})}^{i - (i - 1)}$

解题步骤 2.2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.1

运用分配律。

$r = {(\frac{2}{3})}^{i - i - - 1}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$r = {(\frac{2}{3})}^{i - i + 1}$

解题步骤 2.2.5

从 $i$ 中减去 $i$ 。

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

解题步骤 2.2.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

解题步骤 2.2.7

化简。

$r = \frac{2}{3}$

解题步骤 3

由于 $| r | < 1$ ，级数收敛。

解题步骤 4

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 代入 $4 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ 以替换 $i$ 。

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{0}$

解题步骤 4.2.2

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$a = 4 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

解题步骤 4.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = 4 \frac{1}{3^{0}}$

解题步骤 4.2.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = 4 (\frac{1}{1})$

解题步骤 4.2.5

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

约去公因数。

$a = 4 (\frac{1}{1})$

解题步骤 4.2.5.2

重写表达式。

$a = 4 \cdot 1$

解题步骤 4.2.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$a = 4$

解题步骤 5

将公比和首项的值代入求和公式。

$\frac{4}{1 - \frac{2}{3}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{4}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

解题步骤 6.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{\frac{3 - 2}{3}}$

解题步骤 6.1.3

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{4}{\frac{1}{3}}$

解题步骤 6.2

将分子乘以分母的倒数。

$4 \cdot 3$

解题步骤 6.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12$

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