微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{\infty} 3 {(- 3)}^{i}$

解题步骤 1

无穷等比数列的和可以用公式 $\frac{a}{1 - r}$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{i}$ 和 $a_{i + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{3 {(- 3)}^{i + 1}}{3 {(- 3)}^{i}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$r = \frac{3 {(- 3)}^{i + 1}}{3 {(- 3)}^{i}}$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$r = \frac{{(- 3)}^{i + 1}}{{(- 3)}^{i}}$

解题步骤 2.2.2

约去 ${(- 3)}^{i + 1}$ 和 ${(- 3)}^{i}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 ${(- 3)}^{i + 1}$ 中分解出因数 ${(- 3)}^{i}$ 。

$r = \frac{{(- 3)}^{i} \cdot - 3}{{(- 3)}^{i}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(- 3)}^{i} \cdot - 3}{{(- 3)}^{i} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{(- 3)}^{i} \cdot - 3}{{(- 3)}^{i} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{- 3}{1}$

解题步骤 2.2.2.2.4

用 $- 3$ 除以 $1$ 。

$r = - 3$

解题步骤 3

判断级数是收敛还是发散的。

由于 $| r | \geq 1$ ，级数发散。

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