微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{9} {(- \frac{1}{4})}^{i}$

解题步骤 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{i}$ 和 $a_{i + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i + 1}}{{(- \frac{1}{4})}^{i}}$

解题步骤 2.2

约去 ${(- \frac{1}{4})}^{i + 1}$ 和 ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 ${(- \frac{1}{4})}^{i + 1}$ 中分解出因数 ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ 。

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i}}$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{(- \frac{1}{4})}^{i} (- \frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{4})}^{i} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{- \frac{1}{4}}{1}$

解题步骤 2.2.2.4

用 $- \frac{1}{4}$ 除以 $1$ 。

$r = - \frac{1}{4}$

解题步骤 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 ${(- \frac{1}{4})}^{i}$ 以替换 $i$ 。

$a = {(- \frac{1}{4})}^{1}$

解题步骤 3.2

化简。

$a = - \frac{1}{4}$

解题步骤 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - {(- \frac{1}{4})}^{9}}{1 - - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.1.1.1

对 $- \frac{1}{4}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{1}{4})}^{9})}{1 - - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.1.1.2

对 $\frac{1}{4}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{1^{9}}{4^{9}})}{1 - - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.1.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{9}$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

移动 ${(- 1)}^{9}$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.1.2.2

将 ${(- 1)}^{9}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 5.1.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.1.2.3

将 $9$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.1.3

对 $- 1$ 进行 $10$ 次方运算。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 1 \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.1.4

将 $\frac{1^{9}}{4^{9}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1^{9}}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.1.5

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1}{4^{9}}}{1 - - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.1.6

对 $4$ 进行 $9$ 次方运算。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \frac{1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.1.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144}{262144} + \frac{1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.1.8

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262144 + 1}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.1.9

将 $262144$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 - - \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.1

乘以 $- - \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 + 1 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{1 + \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{4 + 1}{4}}$

解题步骤 5.2.4

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{262145}{262144}}{\frac{5}{4}}$

解题步骤 5.3

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{4} (\frac{262145}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

解题步骤 5.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $262145$ 中分解出因数 $5$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{5 (52429)}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

$- \frac{1}{4} (\frac{5 \cdot 52429}{262144} \cdot \frac{4}{5})$

解题步骤 5.4.3

重写表达式。

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{262144} \cdot 4)$

解题步骤 5.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

从 $262144$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{4 (65536)} \cdot 4)$

解题步骤 5.5.2

约去公因数。

$- \frac{1}{4} (\frac{52429}{4 \cdot 65536} \cdot 4)$

解题步骤 5.5.3

重写表达式。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{52429}{65536}$

解题步骤 5.6

乘以 $- \frac{1}{4} \cdot \frac{52429}{65536}$ 。

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解题步骤 5.6.1

将 $\frac{52429}{65536}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{52429}{65536 \cdot 4}$

解题步骤 5.6.2

将 $65536$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{52429}{262144}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{52429}{262144}$

小数形式：

$- 0.20000076 \dots$

微积分学 示例

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