微积分学示例

$\sum_{i = 3}^{13} {(i - 3)}^{2}$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

将 ${(i - 3)}^{2}$ 重写为 $(i - 3) (i - 3)$ 。

$(i - 3) (i - 3)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(i - 3) (i - 3)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$i (i - 3) - 3 (i - 3)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 (i - 3)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $i$ 乘以 $i$ 。

$i^{2} + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 3$ 移到 $i$ 的左侧。

$i^{2} - 3 \cdot i - 3 i - 3 \cdot - 3$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$i^{2} - 3 i - 3 i + 9$

解题步骤 1.3.2

从 $- 3 i$ 中减去 $3 i$ 。

$i^{2} - 6 i + 9$

解题步骤 1.4

重写该总和。

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9$

解题步骤 2

分解总和使 $i$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 - \sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$

解题步骤 3

计算 $\sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9$ 。

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解题步骤 3.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 \sum_{k = 1}^{13} i + \sum_{k = 1}^{13} 9$

解题步骤 3.2

计算 $\sum_{k = 1}^{13} i^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 3.2.2

将值代入公式中。

$\frac{13 (13 + 1) (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

解题步骤 3.2.3

化简。

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解题步骤 3.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.2.3.1.1

将 $13$ 和 $1$ 相加。

$\frac{13 \cdot 14 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

解题步骤 3.2.3.1.2

合并指数。

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解题步骤 3.2.3.1.2.1

将 $13$ 乘以 $14$ 。

$\frac{182 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

解题步骤 3.2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $13$ 。

$\frac{182 (26 + 1)}{6}$

解题步骤 3.2.3.1.3

将 $26$ 和 $1$ 相加。

$\frac{182 \cdot 27}{6}$

解题步骤 3.2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.3.2.1

将 $182$ 乘以 $27$ 。

$\frac{4914}{6}$

解题步骤 3.2.3.2.2

用 $4914$ 除以 $6$ 。

$819$

解题步骤 3.3

计算 $6 \sum_{k = 1}^{13} i$ 。

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解题步骤 3.3.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 3.3.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- 6) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

解题步骤 3.3.3

化简。

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解题步骤 3.3.3.1

化简表达式。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将 $13$ 和 $1$ 相加。

$- 6 \frac{13 \cdot 14}{2}$

解题步骤 3.3.3.1.2

将 $13$ 乘以 $14$ 。

$- 6 (\frac{182}{2})$

解题步骤 3.3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 3) \frac{182}{2}$

解题步骤 3.3.3.2.2

约去公因数。

$2 \cdot - 3 \frac{182}{2}$

解题步骤 3.3.3.2.3

重写表达式。

$- 3 \cdot 182$

解题步骤 3.3.3.3

将 $- 3$ 乘以 $182$ 。

$- 546$

解题步骤 3.4

计算 $\sum_{k = 1}^{13} 9$ 。

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解题步骤 3.4.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 3.4.2

将值代入公式中。

$(9) (13)$

解题步骤 3.4.3

将 $9$ 乘以 $13$ 。

$117$

解题步骤 3.5

将求和的总和相加。

$819 - 546 + 117$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

从 $819$ 中减去 $546$ 。

$273 + 117$

解题步骤 3.6.2

将 $273$ 和 $117$ 相加。

$390$

解题步骤 4

计算 $\sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$ 。

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解题步骤 4.1

展开 $i$ 每个取值的序列。

$1^{2} - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

解题步骤 4.2.2

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$1 - 6 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

解题步骤 4.2.3

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$- 5 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

解题步骤 4.2.4

将 $- 5$ 和 $9$ 相加。

$4 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

解题步骤 4.2.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 + 4 - 6 \cdot 2 + 9$

解题步骤 4.2.6

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$4 + 4 - 12 + 9$

解题步骤 4.2.7

从 $4$ 中减去 $12$ 。

$4 - 8 + 9$

解题步骤 4.2.8

将 $- 8$ 和 $9$ 相加。

$4 + 1$

解题步骤 4.2.9

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$5$

解题步骤 5

用求得的值替换总和。

$390 - 5$

解题步骤 6

从 $390$ 中减去 $5$ 。

$385$

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