微积分学示例

$\sum_{i = 2}^{8} i^{3}$

解题步骤 1

分解总和使 $i$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{k = 2}^{8} i^{3} = \sum_{k = 1}^{8} i^{3} - \sum_{k = 1}^{1} i^{3}$

解题步骤 2

计算 $\sum_{k = 1}^{8} i^{3}$ 。

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解题步骤 2.1

度数为 $3$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

解题步骤 2.2

将值代入公式中。

$\frac{8^{2} {(8 + 1)}^{2}}{4}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{8^{2} \cdot 9^{2}}{4}$

解题步骤 2.3.1.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{64 \cdot 9^{2}}{4}$

解题步骤 2.3.1.3

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{64 \cdot 81}{4}$

解题步骤 2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $64$ 乘以 $81$ 。

$\frac{5184}{4}$

解题步骤 2.3.2.2

用 $5184$ 除以 $4$ 。

$1296$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{1} i^{3}$ 。

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解题步骤 3.1

展开 $i$ 每个取值的序列。

$1^{3}$

解题步骤 3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$1296 - 1$

解题步骤 5

从 $1296$ 中减去 $1$ 。

$1295$

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