微积分学示例

$\sum_{k = 0}^{3} {(- \frac{1}{2})}^{k}$

解题步骤 1

展开 $k$ 每个取值的序列。

${(- \frac{1}{2})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 \frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.3

将 $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1}{1} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.6

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1 + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.7

化简。

$1 - \frac{1}{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.8

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.8.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$1 - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.8.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$1 - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.9

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 - \frac{1}{2} + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.10

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.11

一的任意次幂都为一。

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.12

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.13

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.13.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}$

解题步骤 2.1.13.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 2.1.14

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 2.1.15

一的任意次幂都为一。

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2^{3}}$

解题步骤 2.1.16

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

解题步骤 2.2

求公分母。

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解题步骤 2.2.1

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{8}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

解题步骤 2.2.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{8}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

解题步骤 2.2.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

解题步骤 2.2.6

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

解题步骤 2.2.7

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

解题步骤 2.2.8

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

解题步骤 2.2.9

重新排序 $4 \cdot 2$ 的因式。

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{2 \cdot 4} - \frac{1}{8}$

解题步骤 2.2.10

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

解题步骤 2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{8 - 4 + 2 - 1}{8}$

解题步骤 2.4

从 $8$ 中减去 $4$ 。

$\frac{4 + 2 - 1}{8}$

解题步骤 2.5

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\frac{6 - 1}{8}$

解题步骤 2.6

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$\frac{5}{8}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5}{8}$

小数形式：

$0.625$

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