微积分学示例

$\sum_{j = 3}^{5} \frac{1}{j^{2} - 3}$

解题步骤 1

展开 $j$ 每个取值的序列。

$\frac{1}{3^{2} - 3} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

求公分母。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{1}{3^{2} - 3}$ 乘以 $\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ 。

$\frac{1}{3^{2} - 3} \cdot \frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{1}{3^{2} - 3}$ 乘以 $\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ 。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

解题步骤 2.1.3

将 $\frac{1}{4^{2} - 3}$ 乘以 $\frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ 。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{4^{2} - 3} \cdot \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

解题步骤 2.1.4

将 $\frac{1}{4^{2} - 3}$ 乘以 $\frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ 。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

解题步骤 2.1.5

将 $\frac{1}{5^{2} - 3}$ 乘以 $\frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$ 。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{5^{2} - 3} \cdot \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$

解题步骤 2.1.6

将 $\frac{1}{5^{2} - 3}$ 乘以 $\frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$ 。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

解题步骤 2.1.7

重新排序 $(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))$ 的因式。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

解题步骤 2.1.8

重新排序 $(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))$ 的因式。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

解题步骤 2.1.9

重新排序 $(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))$ 的因式。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.3

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(16 - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.3.2

从 $16$ 中减去 $3$ 。

$\frac{13 (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.3.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{13 (25 - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.3.4

从 $25$ 中减去 $3$ 。

$\frac{13 \cdot 22 + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.3.5

将 $13$ 乘以 $22$ 。

$\frac{286 + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.3.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{286 + (9 - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.3.7

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$\frac{286 + 6 (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.3.8

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{286 + 6 (25 - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.3.9

从 $25$ 中减去 $3$ 。

$\frac{286 + 6 \cdot 22 + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.3.10

将 $6$ 乘以 $22$ 。

$\frac{286 + 132 + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.3.11

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{286 + 132 + (9 - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.3.12

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$\frac{286 + 132 + 6 (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.3.13

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{286 + 132 + 6 (16 - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.3.14

从 $16$ 中减去 $3$ 。

$\frac{286 + 132 + 6 \cdot 13}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.3.15

将 $6$ 乘以 $13$ 。

$\frac{286 + 132 + 78}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.4

将 $286$ 和 $132$ 相加。

$\frac{418 + 78}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.5

将 $418$ 和 $78$ 相加。

$\frac{496}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.6

化简分母。

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解题步骤 2.6.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{496}{(9 - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.6.2

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$\frac{496}{6 (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.6.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{496}{6 (16 - 3) (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.6.4

从 $16$ 中减去 $3$ 。

$\frac{496}{6 \cdot 13 (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.6.5

将 $6$ 乘以 $13$ 。

$\frac{496}{78 (5^{2} - 3)}$

解题步骤 2.6.6

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{496}{78 (25 - 3)}$

解题步骤 2.6.7

从 $25$ 中减去 $3$ 。

$\frac{496}{78 \cdot 22}$

解题步骤 2.7

将 $78$ 乘以 $22$ 。

$\frac{496}{1716}$

解题步骤 2.8

约去 $496$ 和 $1716$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.1

从 $496$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (124)}{1716}$

解题步骤 2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 2.8.2.1

从 $1716$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 124}{4 \cdot 429}$

解题步骤 2.8.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 124}{4 \cdot 429}$

解题步骤 2.8.2.3

重写表达式。

$\frac{124}{429}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{124}{429}$

小数形式：

$0.\overline{289044}$

微积分学 示例

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