微积分学示例

$y = \log_{9} (\frac{x^{2}}{10 \sqrt{x + 1}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \log_{9} (\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\log_{9} (\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}))$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{9} (x)$ 且 $g (x) = \frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{9} (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.1.2

$\log_{9} (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1} \ln (9)}$ 。

$\frac{1}{u_{1} \ln (9)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.1.3

使用 $\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \ln (9)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\ln (9)$ 。

$\frac{1}{\frac{x^{2} \ln (9)}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x^{2} \ln (9)}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$1 \frac{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.4

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.4.1

将 $\frac{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.4.2

因为 $\frac{1}{10}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2}}{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$\frac{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} (\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}])$

解题步骤 4.4.3

化简项。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $\frac{1}{10}$ 乘以 $\frac{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)}$ 。

$\frac{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{10 (x^{2} \ln (9))} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.4.3.2

约去公因数。

$\frac{10 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{10 x^{2} \ln (9)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.4.3.3

重写表达式。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.5

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.6

将 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.2.1

约去公因数。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.6.2.2

重写表达式。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 1)}^{1}}$

解题步骤 4.7

化简。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 1}$

解题步骤 4.8

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.8.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 1}$

解题步骤 4.8.2

将 $2$ 移到 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 1}$

解题步骤 4.9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 4.9.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 1$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

解题步骤 4.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

解题步骤 4.9.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

解题步骤 4.10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

解题步骤 4.11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

解题步骤 4.12

在公分母上合并分子。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

解题步骤 4.13

化简分子。

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解题步骤 4.13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

解题步骤 4.13.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

解题步骤 4.14

合并分数。

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解题步骤 4.14.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

解题步骤 4.14.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

解题步骤 4.14.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x + 1}$

解题步骤 4.14.4

组合 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{x + 1}$

解题步骤 4.15

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{x + 1}$

解题步骤 4.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{x + 1}$

解题步骤 4.17

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x + 1}$

解题步骤 4.18

化简表达式。

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解题步骤 4.18.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x + 1}$

解题步骤 4.18.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 4.19

用公分母合并 $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ 和 $- \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 4.19.1

移动 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 4.19.2

要将 $2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 4.19.3

组合 $2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 4.19.4

在公分母上合并分子。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 4.20

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 4.21

通过指数相加将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.21.1

移动 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{4 x ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 4.21.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 4.21.3

在公分母上合并分子。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 4.21.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 4.21.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{1} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 4.22

化简 $4 x {(x + 1)}^{1}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 4.23

将 $\frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$ 重写为乘积形式。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} (\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x + 1})$

解题步骤 4.24

将 $\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x + 1}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}$

解题步骤 4.25

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.26

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.27

化简表达式。

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解题步骤 4.27.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.27.2

在公分母上合并分子。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 4.27.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)} \cdot \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.28

将 $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \ln (9)}$ 乘以 $\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x (x + 1) - x^{2})}{x^{2} \ln (9) (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 4.29

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.30

化简分母。

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解题步骤 4.30.1

通过指数相加将 ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 乘以 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.30.1.1

移动 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}))}$

解题步骤 4.30.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}})}$

解题步骤 4.30.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 3}{2}})}$

解题步骤 4.30.1.4

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 4.30.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 {(x + 1)}^{1})}$

解题步骤 4.30.2

化简 $x^{2} \ln (9) (2 {(x + 1)}^{1})$ 。

$\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 (x + 1))}$

解题步骤 4.31

化简。

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解题步骤 4.31.1

运用分配律。

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 (x + 1))}$

解题步骤 4.31.2

运用分配律。

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 x + 2 \cdot 1)}$

解题步骤 4.31.3

运用分配律。

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 x) + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

解题步骤 4.31.4

化简分子。

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解题步骤 4.31.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.31.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.31.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 x) + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

解题步骤 4.31.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{4 x^{2} + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 x) + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

解题步骤 4.31.4.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 x^{2} + 4 x - x^{2}}{x^{2} \ln (9) (2 x) + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

解题步骤 4.31.4.2

从 $4 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2} + 4 x}{x^{2} \ln (9) (2 x) + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

解题步骤 4.31.5

合并项。

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解题步骤 4.31.5.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x^{2} + 4 x}{x^{1} x^{2} \ln (9) \cdot 2 + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

解题步骤 4.31.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2} + 4 x}{x^{1 + 2} \ln (9) \cdot 2 + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

解题步骤 4.31.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x^{2} + 4 x}{x^{3} \ln (9) \cdot 2 + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

解题步骤 4.31.5.4

将 $2$ 移到 $x^{3} \ln (9)$ 的左侧。

$\frac{3 x^{2} + 4 x}{2 \cdot (x^{3} \ln (9)) + x^{2} \ln (9) (2 \cdot 1)}$

解题步骤 4.31.5.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x^{2} + 4 x}{2 x^{3} \ln (9) + x^{2} \ln (9) \cdot 2}$

解题步骤 4.31.5.6

将 $2$ 移到 $x^{2} \ln (9)$ 的左侧。

$\frac{3 x^{2} + 4 x}{2 x^{3} \ln (9) + 2 x^{2} \ln (9)}$

解题步骤 4.31.6

从 $3 x^{2} + 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.31.6.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x) + 4 x}{2 x^{3} \ln (9) + 2 x^{2} \ln (9)}$

解题步骤 4.31.6.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x) + x \cdot 4}{2 x^{3} \ln (9) + 2 x^{2} \ln (9)}$

解题步骤 4.31.6.3

从 $x (3 x) + x \cdot 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x + 4)}{2 x^{3} \ln (9) + 2 x^{2} \ln (9)}$

解题步骤 4.31.7

从 $2 x^{3} \ln (9) + 2 x^{2} \ln (9)$ 中分解出因数 $2 x^{2} \ln (9)$ 。

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解题步骤 4.31.7.1

从 $2 x^{3} \ln (9)$ 中分解出因数 $2 x^{2} \ln (9)$ 。

$\frac{x (3 x + 4)}{2 x^{2} \ln (9) (x) + 2 x^{2} \ln (9)}$

解题步骤 4.31.7.2

从 $2 x^{2} \ln (9)$ 中分解出因数 $2 x^{2} \ln (9)$ 。

$\frac{x (3 x + 4)}{2 x^{2} \ln (9) (x) + 2 x^{2} \ln (9) (1)}$

解题步骤 4.31.7.3

从 $2 x^{2} \ln (9) (x) + 2 x^{2} \ln (9) (1)$ 中分解出因数 $2 x^{2} \ln (9)$ 。

$\frac{x (3 x + 4)}{2 x^{2} \ln (9) (x + 1)}$

解题步骤 4.31.8

约去公因数。

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解题步骤 4.31.8.1

从 $2 x^{2} \ln (9) (x + 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x + 4)}{x (2 x \ln (9) (x + 1))}$

解题步骤 4.31.8.2

约去公因数。

$\frac{x (3 x + 4)}{x (2 x \ln (9) (x + 1))}$

解题步骤 4.31.8.3

重写表达式。

$\frac{3 x + 4}{2 x \ln (9) (x + 1)}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{3 x + 4}{2 x \ln (9) (x + 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + 4}{2 x \ln (9) (x + 1)}$

微积分学 示例

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