微积分学示例

$y = \frac{x}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 3})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 3$ 。

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

将 $x^{2} + 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

根据加法法则， $x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} + 3 - x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.7

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.8

化简。

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解题步骤 3.8.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.8.3

从 $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.8.4

将 $- (x^{2} - 3)$ 重写为 $- 1 (x^{2} - 3)$ 。

$\frac{- 1 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.8.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

微积分学 示例

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