微积分学示例

$y = \frac{2 x + 1}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \frac{2 x + 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x + 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x + 1$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

解题步骤 4.3

化简。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.4

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.9

化简表达式。

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解题步骤 4.9.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.9.2

将 $2$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 4.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

解题步骤 4.11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

解题步骤 4.12

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

解题步骤 4.13

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

解题步骤 4.14

化简分子。

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解题步骤 4.14.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

解题步骤 4.14.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

解题步骤 4.15

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

解题步骤 4.16

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

解题步骤 4.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18

化简。

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解题步骤 4.18.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + (- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.3

化简分子。

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解题步骤 4.18.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.18.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.18.3.1.1.1

从 $- (2 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.3.1.1.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.3.1.1.3

约去公因数。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- (x)) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.3.1.1.4

重写表达式。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (x) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.3.1.2

组合 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.3.1.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.3.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.18.3.1.4.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.18.3.1.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.3.1.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{1 - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.3.1.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.3.1.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.3.1.4.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.3.1.6

将 $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.3.2

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中减去 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.4

化简分子。

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解题步骤 4.18.4.1

要将 $x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.4.2

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.4.4

化简分子。

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解题步骤 4.18.4.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.4.4.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.18.4.4.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.4.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.4.4.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.4.4.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{2}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.4.4.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{2 x^{1} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.4.4.3

化简 $2 x^{1}$ 。

$\frac{\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 4.18.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 4.18.6

乘以 $\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 4.18.6.1

将 $\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 4.18.6.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x - 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.18.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x - 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18.6.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18.6.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 4.18.6.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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