微积分学示例

$y = \frac{\sin (x)}{9 x} + \frac{9 x}{\sin (x)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{9 x} + \frac{9 x}{\sin (x)})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\frac{\sin (x)}{9 x} + \frac{9 x}{\sin (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{9 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{9 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{9 x}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $\frac{1}{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{\sin (x)}{9 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]$ 。

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

解题步骤 3.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

解题步骤 3.2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

解题步骤 3.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

解题步骤 3.2.6

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{9 x}{\sin (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x)}]$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x)}]$

解题步骤 3.3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.3.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) \cdot 1 - x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.3.5

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) - x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.3.6

组合 $9$ 和 $\frac{\sin (x) - x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{9 (\sin (x) - x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{9 \sin (x) + 9 (- x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4.2

合并项。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{9 \sin (x) - 9 (x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4.2.2

要将 $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4.2.3

要将 $\frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$ 。

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$

解题步骤 3.4.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9 x^{2} \sin^{2} (x)$ 的形式。

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解题步骤 3.4.2.4.1

将 $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}}$ 乘以 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x)}{9 x^{2} \sin^{2} (x)} + \frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$

解题步骤 3.4.2.4.2

将 $\frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ 乘以 $\frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$ 。

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x)}{9 x^{2} \sin^{2} (x)} + \frac{(9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) (9 x^{2})}{\sin^{2} (x) (9 x^{2})}$

解题步骤 3.4.2.4.3

重新排序 $\sin^{2} (x) (9 x^{2})$ 的因式。

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x)}{9 x^{2} \sin^{2} (x)} + \frac{(9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) (9 x^{2})}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x) + (9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) (9 x^{2})}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4.2.6

将 $9$ 移到 $9 \sin (x) - 9 x \cos (x)$ 的左侧。

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x) + 9 (9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) x^{2}}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

解题步骤 3.4.3

重新排序项。

$\frac{\sin^{2} (x) (x \cos (x) - \sin (x)) + 9 x^{2} (9 \sin (x) - 9 x \cos (x))}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{\sin^{2} (x) (x \cos (x) - \sin (x)) + 9 x^{2} (9 \sin (x) - 9 x \cos (x))}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin^{2} (x) (x \cos (x) - \sin (x)) + 9 x^{2} (9 \sin (x) - 9 x \cos (x))}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

微积分学 示例

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