微积分学示例

$\sum_{k = 1}^{3} \frac{1}{k^{2} + 4}$

解题步骤 1

展开 $k$ 每个取值的序列。

$\frac{1}{1^{2} + 4} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

求公分母。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{1}{1^{2} + 4}$ 乘以 $\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ 。

$\frac{1}{1^{2} + 4} \cdot \frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{1}{1^{2} + 4}$ 乘以 $\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ 。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

解题步骤 2.1.3

将 $\frac{1}{2^{2} + 4}$ 乘以 $\frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ 。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{2^{2} + 4} \cdot \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

解题步骤 2.1.4

将 $\frac{1}{2^{2} + 4}$ 乘以 $\frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ 。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

解题步骤 2.1.5

将 $\frac{1}{3^{2} + 4}$ 乘以 $\frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$ 。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{3^{2} + 4} \cdot \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$

解题步骤 2.1.6

将 $\frac{1}{3^{2} + 4}$ 乘以 $\frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$ 。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

解题步骤 2.1.7

重新排序 $(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))$ 的因式。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

解题步骤 2.1.8

重新排序 $(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))$ 的因式。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

解题步骤 2.1.9

重新排序 $(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))$ 的因式。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.3

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(4 + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.3.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{8 (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.3.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{8 (9 + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.3.4

将 $9$ 和 $4$ 相加。

$\frac{8 \cdot 13 + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.3.5

将 $8$ 乘以 $13$ 。

$\frac{104 + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.3.6

一的任意次幂都为一。

$\frac{104 + (1 + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.3.7

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{104 + 5 (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.3.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{104 + 5 (9 + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.3.9

将 $9$ 和 $4$ 相加。

$\frac{104 + 5 \cdot 13 + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.3.10

将 $5$ 乘以 $13$ 。

$\frac{104 + 65 + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.3.11

一的任意次幂都为一。

$\frac{104 + 65 + (1 + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.3.12

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{104 + 65 + 5 (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.3.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{104 + 65 + 5 (4 + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.3.14

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{104 + 65 + 5 \cdot 8}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.3.15

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$\frac{104 + 65 + 40}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.4

将 $104$ 和 $65$ 相加。

$\frac{169 + 40}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.5

将 $169$ 和 $40$ 相加。

$\frac{209}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.6

化简分母。

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解题步骤 2.6.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{209}{(1 + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.6.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{209}{5 (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.6.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{209}{5 (4 + 4) (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.6.4

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{209}{5 \cdot 8 (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.6.5

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$\frac{209}{40 (3^{2} + 4)}$

解题步骤 2.6.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{209}{40 (9 + 4)}$

解题步骤 2.6.7

将 $9$ 和 $4$ 相加。

$\frac{209}{40 \cdot 13}$

解题步骤 2.7

将 $40$ 乘以 $13$ 。

$\frac{209}{520}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{209}{520}$

小数形式：

$0.40192307 \dots$

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