微积分学示例

$\sum_{k = 5}^{13} \frac{5 - 2 k}{8}$

解题步骤 1

分解总和使 $k$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{k = 5}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} = \sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} - \sum_{k = 1}^{4} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$

解题步骤 2

计算 $\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$ 。

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解题步骤 2.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} = \sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} + \sum_{k = 1}^{13} - \frac{k}{4}$

解题步骤 2.2

计算 $\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8}$ 。

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解题步骤 2.2.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 2.2.2

将值代入公式中。

$(\frac{5}{8}) (13)$

解题步骤 2.2.3

乘以 $(\frac{5}{8}) (13)$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

组合 $\frac{5}{8}$ 和 $13$ 。

$\frac{5 \cdot 13}{8}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $5$ 乘以 $13$ 。

$\frac{65}{8}$

解题步骤 2.3

计算 $\sum_{k = 1}^{13} - \frac{k}{4}$ 。

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解题步骤 2.3.1

从总和中因式分解出 $- \frac{1}{4}$ 。

$(- \frac{1}{4}) \sum_{k = 1}^{13} k$

解题步骤 2.3.2

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.3.3

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- \frac{1}{4}) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

解题步骤 2.3.4

化简。

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解题步骤 2.3.4.1

化简表达式。

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解题步骤 2.3.4.1.1

将 $13$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{13 \cdot 14}{2}$

解题步骤 2.3.4.1.2

将 $13$ 乘以 $14$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{182}{2}$

解题步骤 2.3.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.2.1

将 $- \frac{1}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{182}{2}$

解题步骤 2.3.4.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{182}{2}$

解题步骤 2.3.4.2.3

从 $182$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 91}{2}$

解题步骤 2.3.4.2.4

约去公因数。

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 91}{2}$

解题步骤 2.3.4.2.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{91}{2}$

解题步骤 2.3.4.3

将 $\frac{- 1}{2}$ 乘以 $\frac{91}{2}$ 。

$\frac{- 1 \cdot 91}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.4.4

化简表达式。

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解题步骤 2.3.4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $91$ 。

$\frac{- 91}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.4.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 91}{4}$

解题步骤 2.3.4.4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{91}{4}$

解题步骤 2.4

将求和的总和相加。

$\frac{65}{8} - \frac{91}{4}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

要将 $- \frac{91}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{65}{8} - \frac{91}{4} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 2.5.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $\frac{91}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{65}{8} - \frac{91 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{65}{8} - \frac{91 \cdot 2}{8}$

解题步骤 2.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{65 - 91 \cdot 2}{8}$

解题步骤 2.5.4

化简分子。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $- 91$ 乘以 $2$ 。

$\frac{65 - 182}{8}$

解题步骤 2.5.4.2

从 $65$ 中减去 $182$ 。

$\frac{- 117}{8}$

解题步骤 2.5.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{117}{8}$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{4} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$ 。

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解题步骤 3.1

展开 $k$ 每个取值的序列。

$\frac{5}{8} - \frac{1}{4} + \frac{5}{8} - \frac{2}{4} + \frac{5}{8} - \frac{3}{4} + \frac{5}{8} - \frac{4}{4}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{5 + 5 + 5 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

解题步骤 3.2.2

将 $5$ 和 $5$ 相加。

$\frac{10 + 5 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

解题步骤 3.2.3

将 $10$ 和 $5$ 相加。

$\frac{15 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

解题步骤 3.2.4

将 $15$ 和 $5$ 相加。

$\frac{20}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

解题步骤 3.2.5

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{20}{8} + \frac{- 3 - 3 - 4}{4}$

解题步骤 3.2.6

从 $- 3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{20}{8} + \frac{- 6 - 4}{4}$

解题步骤 3.2.7

从 $- 6$ 中减去 $4$ 。

$\frac{20}{8} + \frac{- 10}{4}$

解题步骤 3.2.8

化简每一项。

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解题步骤 3.2.8.1

约去 $20$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.8.1.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (5)}{8} + \frac{- 10}{4}$

解题步骤 3.2.8.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.8.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2} + \frac{- 10}{4}$

解题步骤 3.2.8.1.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2} + \frac{- 10}{4}$

解题步骤 3.2.8.1.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{2} + \frac{- 10}{4}$

解题步骤 3.2.8.2

约去 $- 10$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.8.2.1

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{2} + \frac{2 (- 5)}{4}$

解题步骤 3.2.8.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.8.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.2.8.2.2.2

约去公因数。

$\frac{5}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.2.8.2.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{2} + \frac{- 5}{2}$

解题步骤 3.2.8.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{5}{2} - \frac{5}{2}$

解题步骤 3.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{5 - 5}{2}$

解题步骤 3.2.10

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{0}{2}$

解题步骤 3.2.11

用 $0$ 除以 $2$ 。

$0$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$- \frac{117}{8} - 0$

解题步骤 5

从 $- \frac{117}{8}$ 中减去 $0$ 。

$- \frac{117}{8}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{117}{8}$

小数形式：

$- 14.625$

带分数形式：

$- 14 \frac{5}{8}$

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