微积分学示例

$\sum_{n = 1}^{4} n^{- 2} (12)$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{n^{2}} \cdot 12$

解题步骤 1.2

组合 $\frac{1}{n^{2}}$ 和 $12$ 。

$\frac{12}{n^{2}}$

解题步骤 1.3

重写该总和。

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{12}{n^{2}}$

解题步骤 2

展开 $n$ 每个取值的序列。

$\frac{12}{1^{2}} + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{12}{1} + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

解题步骤 3.1.2

用 $12$ 除以 $1$ 。

$12 + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

解题步骤 3.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 + \frac{12}{4} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

解题步骤 3.1.4

用 $12$ 除以 $4$ 。

$12 + 3 + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

解题步骤 3.1.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 + 3 + \frac{12}{9} + \frac{12}{4^{2}}$

解题步骤 3.1.6

约去 $12$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.6.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$12 + 3 + \frac{3 (4)}{9} + \frac{12}{4^{2}}$

解题步骤 3.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.6.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$12 + 3 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{12}{4^{2}}$

解题步骤 3.1.6.2.2

约去公因数。

$12 + 3 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{12}{4^{2}}$

解题步骤 3.1.6.2.3

重写表达式。

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{12}{4^{2}}$

解题步骤 3.1.7

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{12}{16}$

解题步骤 3.1.8

约去 $12$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.8.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 (3)}{16}$

解题步骤 3.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.8.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.1.8.2.2

约去公因数。

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.1.8.2.3

重写表达式。

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

解题步骤 3.2

求公分母。

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解题步骤 3.2.1

将 $12$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{12}{1} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{12}{1}$ 乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$\frac{12}{1} \cdot \frac{12}{12} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{12}{1}$ 乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

解题步骤 3.2.4

将 $3$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3}{1} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

解题步骤 3.2.5

将 $\frac{3}{1}$ 乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3}{1} \cdot \frac{12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

解题步骤 3.2.6

将 $\frac{3}{1}$ 乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

解题步骤 3.2.7

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

解题步骤 3.2.8

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3}{4}$

解题步骤 3.2.9

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.2.10

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

解题步骤 3.2.11

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

解题步骤 3.2.12

重新排序 $4 \cdot 3$ 的因式。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

解题步骤 3.2.13

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{12 \cdot 12 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1

将 $12$ 乘以 $12$ 。

$\frac{144 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.4.2

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$\frac{144 + 36 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.4.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{144 + 36 + 16 + 3 \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.4.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{144 + 36 + 16 + 9}{12}$

解题步骤 3.5

将 $144$ 和 $36$ 相加。

$\frac{180 + 16 + 9}{12}$

解题步骤 3.6

将 $180$ 和 $16$ 相加。

$\frac{196 + 9}{12}$

解题步骤 3.7

将 $196$ 和 $9$ 相加。

$\frac{205}{12}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{205}{12}$

小数形式：

$17.08\overline{3}$

带分数形式：

$17 \frac{1}{12}$

微积分学 示例

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