微积分学示例

$\sum_{n = 1}^{4} {(a - n)}^{2}$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

将 ${(a - n)}^{2}$ 重写为 $(a - n) (a - n)$ 。

$(a - n) (a - n)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(a - n) (a - n)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$a (a - n) - n (a - n)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$a \cdot a + a (- n) - n (a - n)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$a \cdot a + a (- n) - n a - n (- n)$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$a^{2} + a (- n) - n a - n (- n)$

解题步骤 1.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$a^{2} - a n - n a - n (- n)$

解题步骤 1.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$a^{2} - a n - n a - 1 \cdot - 1 n \cdot n$

解题步骤 1.3.1.4

通过指数相加将 $n$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 1.3.1.4.1

移动 $n$ 。

$a^{2} - a n - n a - 1 \cdot - 1 (n \cdot n)$

解题步骤 1.3.1.4.2

将 $n$ 乘以 $n$ 。

$a^{2} - a n - n a - 1 \cdot - 1 n^{2}$

解题步骤 1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a^{2} - a n - n a + 1 n^{2}$

解题步骤 1.3.1.6

将 $n^{2}$ 乘以 $1$ 。

$a^{2} - a n - n a + n^{2}$

解题步骤 1.3.2

从 $- a n$ 中减去 $n a$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

移动 $n$ 。

$a^{2} - a n - 1 a n + n^{2}$

解题步骤 1.3.2.2

从 $- a n$ 中减去 $a n$ 。

$a^{2} - 2 a n + n^{2}$

解题步骤 1.4

重写该总和。

$\sum_{n = 1}^{4} a^{2} - 2 a n + n^{2}$

解题步骤 2

展开 $n$ 每个取值的序列。

$a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 2 + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

解题步骤 3

将值代回并化简 $a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 2 + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$a^{2} - 2 a + 1^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 2 + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

解题步骤 3.1.2

一的任意次幂都为一。

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 2 a \cdot 2 + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

解题步骤 3.1.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

解题步骤 3.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

解题步骤 3.1.5

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

解题步骤 3.1.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

解题步骤 3.1.7

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} - 8 a + 4^{2}$

解题步骤 3.1.8

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} - 8 a + 16$

解题步骤 3.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $a^{2}$ 和 $a^{2}$ 相加。

$2 a^{2} - 2 a + 1 - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} - 8 a + 16$

解题步骤 3.2.2

将 $2 a^{2}$ 和 $a^{2}$ 相加。

$3 a^{2} - 2 a + 1 - 4 a + 4 - 6 a + 9 + a^{2} - 8 a + 16$

解题步骤 3.2.3

将 $3 a^{2}$ 和 $a^{2}$ 相加。

$4 a^{2} - 2 a + 1 - 4 a + 4 - 6 a + 9 - 8 a + 16$

解题步骤 3.2.4

从 $- 2 a$ 中减去 $4 a$ 。

$4 a^{2} - 6 a + 1 + 4 - 6 a + 9 - 8 a + 16$

解题步骤 3.2.5

从 $- 6 a$ 中减去 $6 a$ 。

$4 a^{2} - 12 a + 1 + 4 + 9 - 8 a + 16$

解题步骤 3.2.6

从 $- 12 a$ 中减去 $8 a$ 。

$4 a^{2} - 20 a + 1 + 4 + 9 + 16$

解题步骤 3.2.7

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 3.2.7.1

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$4 a^{2} - 20 a + 5 + 9 + 16$

解题步骤 3.2.7.2

将 $5$ 和 $9$ 相加。

$4 a^{2} - 20 a + 14 + 16$

解题步骤 3.2.7.3

将 $14$ 和 $16$ 相加。

$4 a^{2} - 20 a + 30$

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