微积分学示例

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{5 n}{n + 3}$

解题步骤 1

展开 $n$ 每个取值的序列。

$\frac{5 \cdot 1}{1 + 3} + \frac{5 \cdot 2}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{5 \cdot 2}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

解题步骤 2.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

解题步骤 2.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

解题步骤 2.4

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

解题步骤 2.5

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{5}{4} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{5}{4} + \frac{10}{5} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

解题步骤 2.5.3

用 $10$ 除以 $5$ 。

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

解题步骤 2.5.4

约去 $15$ 和 $3 + 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

解题步骤 2.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.4.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 (1) + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

解题步骤 2.5.4.2.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1} + \frac{20}{4 + 3}$

解题步骤 2.5.4.2.3

从 $3 \cdot 1 + 3 \cdot 1$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot (1 + 1)} + \frac{20}{4 + 3}$

解题步骤 2.5.4.2.4

约去公因数。

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot (1 + 1)} + \frac{20}{4 + 3}$

解题步骤 2.5.4.2.5

重写表达式。

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{1 + 1} + \frac{20}{4 + 3}$

解题步骤 2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{4 + 3}$

解题步骤 2.5.6

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

解题步骤 2.6

求公分母。

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解题步骤 2.6.1

将 $\frac{5}{4}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{7}{7} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

解题步骤 2.6.2

将 $\frac{5}{4}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

解题步骤 2.6.3

将 $2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2}{1} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

解题步骤 2.6.4

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{28}{28}$ 。

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2}{1} \cdot \frac{28}{28} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

解题步骤 2.6.5

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{28}{28}$ 。

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

解题步骤 2.6.6

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $\frac{14}{14}$ 。

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5}{2} \cdot \frac{14}{14} + \frac{20}{7}$

解题步骤 2.6.7

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $\frac{14}{14}$ 。

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20}{7}$

解题步骤 2.6.8

将 $\frac{20}{7}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20}{7} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 2.6.9

将 $\frac{20}{7}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.10

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.11

将 $2$ 乘以 $14$ 。

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.12

重新排序 $7 \cdot 4$ 的因式。

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{4 \cdot 7}$

解题步骤 2.6.13

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{28}$

解题步骤 2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{5 \cdot 7 + 2 \cdot 28 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

解题步骤 2.8

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1

将 $5$ 乘以 $7$ 。

$\frac{35 + 2 \cdot 28 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 乘以 $28$ 。

$\frac{35 + 56 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

解题步骤 2.8.3

将 $5$ 乘以 $14$ 。

$\frac{35 + 56 + 70 + 20 \cdot 4}{28}$

解题步骤 2.8.4

将 $20$ 乘以 $4$ 。

$\frac{35 + 56 + 70 + 80}{28}$

解题步骤 2.9

将 $35$ 和 $56$ 相加。

$\frac{91 + 70 + 80}{28}$

解题步骤 2.10

将 $91$ 和 $70$ 相加。

$\frac{161 + 80}{28}$

解题步骤 2.11

将 $161$ 和 $80$ 相加。

$\frac{241}{28}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{241}{28}$

小数形式：

$8.60714285 \dots$

带分数形式：

$8 \frac{17}{28}$

微积分学 示例

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