微积分学示例

$\frac{2 x + 1}{3 x - 5}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x + 1$ 且 $g (x) = 3 x - 5$ 。

$\frac{(3 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(3 x - 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(3 x - 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(3 x - 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(3 x - 5) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 x - 5) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(3 x - 5) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $3 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{(3 x - 5) \cdot 2 - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(3 x - 5) \cdot 2 - (2 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(3 x - 5) \cdot 2 - (2 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 5.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(3 x - 5) \cdot 2 - (2 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 6

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 x - 5) \cdot 2 - (2 x + 1) (3 + 0)}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 6.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(3 x - 5) \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{3 x \cdot 2 - 5 \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{3 x \cdot 2 - 5 \cdot 2 + (- (2 x) - 1 \cdot 1) \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\frac{3 x \cdot 2 - 5 \cdot 2 - (2 x) \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.4

化简分子。

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解题步骤 7.4.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 x - 5 \cdot 2 - (2 x) \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.2

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 x - 10 - (2 x) \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{6 x - 10 - 2 x \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.4

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{6 x - 10 - 6 x - 1 \cdot 1 \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.5

乘以 $- 1 \cdot 1 \cdot 3$ 。

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解题步骤 7.4.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 x - 10 - 6 x - 1 \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.4.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 x - 10 - 6 x - 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.4.2

合并 $6 x - 10 - 6 x - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 7.4.2.1

从 $6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\frac{0 - 10 - 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.4.2.2

从 $0$ 中减去 $10$ 。

$\frac{- 10 - 3}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.4.3

从 $- 10$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- 13}{{(3 x - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{13}{{(3 x - 5)}^{2}}$

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