微积分学示例

$(2 t - 1) {(6 t - 5)}^{- 1}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = 2 t - 1$ 且 $g (t) = {(6 t - 5)}^{- 1}$ 。

$(2 t - 1) \frac{d}{d t} [{(6 t - 5)}^{- 1}] + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = 6 t - 5$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 t - 5$ 。

$(2 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [6 t - 5]) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$(2 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [6 t - 5]) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

解题步骤 2.3

使用 $6 t - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} \frac{d}{d t} [6 t - 5]) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $6 t - 5$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ 。

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

解题步骤 3.2

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6 t$ 对 $t$ 的导数是 $6 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

解题步骤 3.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (6 + \frac{d}{d t} [- 5])) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

解题步骤 3.5

因为 $- 5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} (6 + 0)) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$(2 t - 1) (- {(6 t - 5)}^{- 2} \cdot 6) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

解题步骤 3.6.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} \frac{d}{d t} [2 t - 1]$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $2 t - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 3.8

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 3.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (2 + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 3.11

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} (2 + 0)$

解题步骤 3.12

化简表达式。

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解题步骤 3.12.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + {(6 t - 5)}^{- 1} \cdot 2$

解题步骤 3.12.2

将 $2$ 移到 ${(6 t - 5)}^{- 1}$ 的左侧。

$(2 t - 1) (- 6 {(6 t - 5)}^{- 2}) + 2 \cdot {(6 t - 5)}^{- 1}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$- 6 {(6 t - 5)}^{- 2} (2 t - 1) + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 6 \frac{1}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t - 1) + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

解题步骤 4.2.2

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{{(6 t - 5)}^{2}}$ 。

$\frac{- 6}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t - 1) + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

解题步骤 4.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t - 1) + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

解题步骤 4.2.4

运用分配律。

$- \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t) - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

解题步骤 4.2.5

乘以 $- \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} (2 t)$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} t - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

解题步骤 4.2.5.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$ 。

$\frac{- 2 \cdot 6}{{(6 t - 5)}^{2}} t - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

解题步骤 4.2.5.3

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 12}{{(6 t - 5)}^{2}} t - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

解题步骤 4.2.5.4

组合 $\frac{- 12}{{(6 t - 5)}^{2}}$ 和 $t$ 。

$\frac{- 12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} - \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1 + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

解题步骤 4.2.6

乘以 $- \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + 1 \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

解题步骤 4.2.6.2

将 $\frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

解题步骤 4.2.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + 2 {(6 t - 5)}^{- 1}$

解题步骤 4.2.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + 2 \frac{1}{6 t - 5}$

解题步骤 4.2.9

组合 $2$ 和 $\frac{1}{6 t - 5}$ 。

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2}{6 t - 5}$

解题步骤 4.3

要将 $\frac{2}{6 t - 5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6 t - 5}{6 t - 5}$ 。

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2}{6 t - 5} \cdot \frac{6 t - 5}{6 t - 5} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${(6 t - 5)}^{2}$ 的形式。

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解题步骤 4.4.1

将 $\frac{2}{6 t - 5}$ 乘以 $\frac{6 t - 5}{6 t - 5}$ 。

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{(6 t - 5) (6 t - 5)} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

对 $6 t - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{1} (6 t - 5)} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.4.3

对 $6 t - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{1} {(6 t - 5)}^{1}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{1 + 1}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{12 t}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 12 t + 2 (6 t - 5)}{{(6 t - 5)}^{2}} + \frac{6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$\frac{- 12 t + 2 (6 t - 5) + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.7

化简每一项。

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解题步骤 4.7.1

运用分配律。

$\frac{- 12 t + 2 (6 t) + 2 \cdot - 5 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.7.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 12 t + 12 t + 2 \cdot - 5 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.7.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{- 12 t + 12 t - 10 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.8

将 $- 12 t$ 和 $12 t$ 相加。

$\frac{0 - 10 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.9

从 $0$ 中减去 $10$ 。

$\frac{- 10 + 6}{{(6 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.10

将 $- 10$ 和 $6$ 相加。

$\frac{- 4}{{(6 t - 5)}^{2}}$

解题步骤 4.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{{(6 t - 5)}^{2}}$

微积分学 示例

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