微积分学示例

$(45 + e^{t}) \ln (t)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = 45 + e^{t}$ 且 $g (t) = \ln (t)$ 。

$(45 + e^{t}) \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [45 + e^{t}]$

解题步骤 2

$\ln (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\frac{1}{t}$ 。

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [45 + e^{t}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $45 + e^{t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [45] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ 。

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) (\frac{d}{d t} [45] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 3.2

因为 $45$ 对于 $t$ 是常数，所以 $45$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) (0 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [e^{t}]$ 相加。

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

解题步骤 4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 等于 $a^{t} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$45 \frac{1}{t} + e^{t} \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $45$ 和 $\frac{1}{t}$ 。

$\frac{45}{t} + e^{t} \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

解题步骤 5.2.2

组合 $e^{t}$ 和 $\frac{1}{t}$ 。

$\frac{45}{t} + \frac{e^{t}}{t} + \ln (t) e^{t}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$e^{t} \ln (t) + \frac{45}{t} + \frac{e^{t}}{t}$

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