微积分学示例

$f (x) = e^{7 x}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 7 x$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 1.1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 1.1.1.3

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{7 x} (7 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$e^{7 x} \cdot 7$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 $7$ 移到 $e^{7 x}$ 的左侧。

$f' (x) = 7 e^{7 x}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 e^{7 x}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [e^{7 x}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [e^{7 x}]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 7 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x$ 。

$7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 1.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$7 (e^{u} \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$7 (e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x])$

解题步骤 1.2.3

求微分。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.2.3.2

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$49 e^{7 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$49 e^{7 x} \cdot 1$

解题步骤 1.2.3.4

将 $49$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 49 e^{7 x}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $49 e^{7 x}$ 。

$49 e^{7 x}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $49 e^{7 x} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$49 e^{7 x} = 0$

解题步骤 2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (49 e^{7 x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.3

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.4

$49 e^{7 x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 3

找不到使二阶导数等于 $0$ 的值。

不存在拐点

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