微积分学示例

$f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 + e^{x}$ 。

$\frac{(3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $3 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 相加。

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.5

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 1.5.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.5.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

运用分配律。

$\frac{3 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.6.2

化简分子。

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解题步骤 1.6.2.1

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 1.6.2.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.1.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.2

合并 $3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.6.2.2.1

从 $e^{2 x}$ 中减去 $e^{2 x}$ 。

$\frac{3 e^{x} + 0}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.6.2.2.2

将 $3 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}})$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = {(3 + e^{x})}^{2}$ 。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{({(3 + e^{x})}^{2})}^{2}})$

解题步骤 2.3

将 ${({(3 + e^{x})}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{2 \cdot 2}})$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

解题步骤 2.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} {(3 + e^{x})}^{2}}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 + e^{x}$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 + e^{x}$ 。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

解题步骤 2.5.3

使用 $3 + e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

解题步骤 2.6

求微分。

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解题步骤 2.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (3 + e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

解题步骤 2.6.2

根据加法法则， $3 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (e^{x})))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

解题步骤 2.6.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} (e^{x})))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

解题步骤 2.6.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 相加。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

解题步骤 2.7

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((3 + e^{x}) e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

解题步骤 2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

解题步骤 2.9

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$f'' (x) = 3 (\frac{{(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

解题步骤 2.10

从 ${(3 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})$ 中分解出因数 $3 + e^{x}$ 。

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解题步骤 2.10.1

从 ${(3 + e^{x})}^{2} e^{x}$ 中分解出因数 $3 + e^{x}$ 。

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

解题步骤 2.10.2

从 $- 2 e^{2 x} (3 + e^{x})$ 中分解出因数 $3 + e^{x}$ 。

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) + (3 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

解题步骤 2.10.3

从 $(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x}) + (3 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ 中分解出因数 $3 + e^{x}$ 。

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{4}})$

解题步骤 2.11

约去公因数。

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解题步骤 2.11.1

从 ${(3 + e^{x})}^{4}$ 中分解出因数 $3 + e^{x}$ 。

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(3 + e^{x}) {(3 + e^{x})}^{3}})$

解题步骤 2.11.2

约去公因数。

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(3 + e^{x}) {(3 + e^{x})}^{3}})$

解题步骤 2.11.3

重写表达式。

$f'' (x) = 3 (\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}})$

解题步骤 2.12

组合 $3$ 和 $\frac{(3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{3 ((3 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.13

化简。

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解题步骤 2.13.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.13.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) + 3 (e^{x} e^{x}) + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.13.3

化简分子。

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解题步骤 2.13.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.13.3.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 (e^{x} e^{x}) + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.2

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 2.13.3.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{x + x} + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.2.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{2 x} + 3 (- 2 e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} + 3 e^{2 x} - 6 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.2

从 $3 e^{2 x}$ 中减去 $6 e^{2 x}$ 。

$f'' (x) = \frac{9 e^{x} - 3 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.13.4

化简分子。

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解题步骤 2.13.4.1

从 $9 e^{x} - 3 e^{2 x}$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.13.4.1.1

从 $9 e^{x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) - 3 e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.2

从 $- 3 e^{2 x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x}) + 3 (- e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.1.3

从 $3 (3 e^{x}) + 3 (- e^{2 x})$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} - e^{2 x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.2

将 $e^{2 x}$ 重写为 ${(e^{x})}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (3 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.3

使 $u = e^{x}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $e^{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (3 u - u^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.4

从 $3 u - u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 2.13.4.4.1

从 $3 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (u \cdot 3 - u^{2})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.4.2

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (u \cdot 3 + u (- u))}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.4.3

从 $u \cdot 3 + u (- u)$ 中分解出因数 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{3 (u (3 - u))}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 2.13.4.5

使用 $e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{3 e^{x} (3 - e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$

解题步骤 4

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 5

不存在局部极值

解题步骤 6

微积分学 示例

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