微积分学示例

$y = \frac{3 x^{2}}{x + 2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x^{2}}{x + 2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

$3 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 \frac{(x + 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 移到 $x + 2$ 的左侧。

$3 \frac{2 \cdot (x + 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$3 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

合并分数。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.3

组合 $3$ 和 $\frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{3 (2 (x + 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$\frac{3 ((2 x + 2 \cdot 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.2

运用分配律。

$\frac{3 (2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3

运用分配律。

$\frac{3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot 2 x) + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4

化简分子。

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解题步骤 1.4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 (2 (x \cdot x)) + 3 (2 \cdot 2 x) + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (2 \cdot 2 x) + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 x^{2} + 3 (2 \cdot 2 x) + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 x^{2} + 3 (4 x) + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4.1.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 x^{2} + 12 x + 3 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 x^{2} + 12 x - 3 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.4.2

从 $6 x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2} + 12 x}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5

从 $3 x^{2} + 12 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

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解题步骤 1.4.5.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{3 x (x) + 12 x}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.2

从 $12 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{3 x (x) + 3 x (4)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.4.5.3

从 $3 x (x) + 3 x (4)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$f' (x) = \frac{3 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x (x + 4)$ 且 $g (x) = {(x + 2)}^{2}$ 。

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x + 4)] - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{({(x + 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 ${({(x + 2)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x + 4)] - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x + 4)] - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + 4$ 。

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4

化简表达式。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x + (x + 4) \frac{d}{d x} [x]) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x + (x + 4) \cdot 1) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.5.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.5.6.1

将 $x + 4$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (x + x + 4) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.5.6.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - x (x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

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解题步骤 2.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 2$ 。

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - x (x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - x (x + 4) (2 u \frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - x (x + 4) (2 (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \frac{{(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - 2 x (x + 4) ((x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.7.2

从 ${(x + 2)}^{2} (2 x + 4) - 2 x (x + 4) ((x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2])$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

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解题步骤 2.7.2.1

从 ${(x + 2)}^{2} (2 x + 4)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$3 \frac{(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4)) - 2 x (x + 4) ((x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.7.2.2

从 $- 2 x (x + 4) ((x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2])$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$3 \frac{(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4)) + (x + 2) (- 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2]))}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.7.2.3

从 $(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4)) + (x + 2) (- 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2]))$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$3 \frac{(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2]))}{{(x + 2)}^{4}}$

解题步骤 2.8

约去公因数。

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解题步骤 2.8.1

从 ${(x + 2)}^{4}$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$3 \frac{(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2]))}{(x + 2) {(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.8.2

约去公因数。

$3 \frac{(x + 2) ((x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2]))}{(x + 2) {(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.8.3

重写表达式。

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x + 2])}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.9

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.11

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.12

合并分数。

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解题步骤 2.12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4) \cdot 1}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.12.3

组合 $3$ 和 $\frac{(x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{3}}$ 。

$\frac{3 ((x + 2) (2 x + 4) - 2 x (x + 4))}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13

化简。

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解题步骤 2.13.1

运用分配律。

$\frac{3 ((x + 2) (2 x + 4) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.2

运用分配律。

$\frac{3 ((x + 2) (2 x + 4)) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3

化简分子。

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解题步骤 2.13.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.13.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (2 x + 4)$ 。

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解题步骤 2.13.3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{3 (x (2 x + 4) + 2 (2 x + 4)) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{3 (x (2 x) + x \cdot 4 + 2 (2 x + 4)) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{3 (x (2 x) + x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.13.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.13.3.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 (2 x \cdot x + x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.13.3.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{3 (2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{3 (2 x^{2} + x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.2.1.3

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.2.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot 4) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.2.1.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x + 4 x + 8) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.2.2

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{3 (2 x^{2} + 8 x + 8) + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.3

运用分配律。

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (8 x) + 3 \cdot 8 + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.4

化简。

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解题步骤 2.13.3.1.4.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 8 + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.4.2

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 3 \cdot 8 + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.4.3

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 + 3 (- 2 x \cdot x) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.13.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 + 3 (- 2 (x \cdot x)) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 + 3 (- 2 x^{2}) + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.6

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 - 6 x^{2} + 3 (- 2 x \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.7

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 - 6 x^{2} + 3 (- 8 x)}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.1.8

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 x^{2} + 24 x + 24 - 6 x^{2} - 24 x}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.2

合并 $6 x^{2} + 24 x + 24 - 6 x^{2} - 24 x$ 中相反的项。

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解题步骤 2.13.3.2.1

从 $6 x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$\frac{24 x + 24 + 0 - 24 x}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.2.2

将 $24 x + 24$ 和 $0$ 相加。

$\frac{24 x + 24 - 24 x}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.2.3

从 $24 x$ 中减去 $24 x$ 。

$\frac{0 + 24}{{(x + 2)}^{3}}$

解题步骤 2.13.3.2.4

将 $0$ 和 $24$ 相加。

$f'' (x) = \frac{24}{{(x + 2)}^{3}}$

微积分学 示例

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