微积分学示例

$y = \frac{x^{4} + 8}{x^{2}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{4} + 8$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 8] - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.2

根据加法法则， $x^{4} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{x^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8]) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.4

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} (4 x^{3} + 0) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.2.5

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.3.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} x^{2} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3 + 2} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{5} \cdot 4 - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.4

将 $4$ 移到 $x^{5}$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot x^{5} - (x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4 x^{5} - (x^{4} + 8) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 1.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 x^{5} - 2 (x^{4} + 8) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

运用分配律。

$\frac{4 x^{5} + (- 2 x^{4} - 2 \cdot 8) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.7.2

运用分配律。

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{4} x - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

解题步骤 1.7.3

化简分子。

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解题步骤 1.7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.7.3.1.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.7.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 x^{5} - 2 (x \cdot x^{4}) - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

解题步骤 1.7.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.7.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 x^{5} - 2 (x^{1} x^{4}) - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

解题步骤 1.7.3.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{1 + 4} - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

解题步骤 1.7.3.1.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 2 \cdot 8 x}{x^{4}}$

解题步骤 1.7.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 16 x}{x^{4}}$

解题步骤 1.7.3.2

从 $4 x^{5}$ 中减去 $2 x^{5}$ 。

$\frac{2 x^{5} - 16 x}{x^{4}}$

解题步骤 1.7.4

从 $2 x^{5} - 16 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 1.7.4.1

从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4}) - 16 x}{x^{4}}$

解题步骤 1.7.4.2

从 $- 16 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 8)}{x^{4}}$

解题步骤 1.7.4.3

从 $2 x (x^{4}) + 2 x (- 8)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (x^{4} - 8)}{x^{4}}$

解题步骤 1.7.5

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.5.1

从 $2 x (x^{4} - 8)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x^{4}}$

解题步骤 1.7.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.7.5.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 1.7.5.2.2

约去公因数。

$\frac{x (2 (x^{4} - 8))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 1.7.5.2.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{2 (x^{4} - 8)}{x^{3}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 (x^{4} - 8)}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 8}{x^{3}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 8}{x^{3}}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{4} - 8$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} - 8] - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x^{4} - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$2 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3} + 0) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.3.5

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{x^{3} (4 x^{3}) - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$2 \frac{x^{3} x^{3} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{x^{3 + 3} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$2 \frac{x^{6} \cdot 4 - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.5

将 $4$ 移到 $x^{6}$ 的左侧。

$2 \frac{4 \cdot x^{6} - (x^{4} - 8) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 \frac{4 x^{6} - (x^{4} - 8) (3 x^{2})}{x^{6}}$

解题步骤 2.7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.7.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{4 x^{6} - 3 (x^{4} - 8) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 2.7.2

从 $4 x^{6} - 3 (x^{4} - 8) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.7.2.1

从 $4 x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4}) - 3 (x^{4} - 8) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 2.7.2.2

从 $- 3 (x^{4} - 8) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4}) + x^{2} (- 3 (x^{4} - 8))}{x^{6}}$

解题步骤 2.7.2.3

从 $x^{2} (4 x^{4}) + x^{2} (- 3 (x^{4} - 8))$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{6}}$

解题步骤 2.8

约去公因数。

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解题步骤 2.8.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 2.8.2

约去公因数。

$2 \frac{x^{2} (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 2.8.3

重写表达式。

$2 \frac{4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8)}{x^{4}}$

解题步骤 2.9

组合 $2$ 和 $\frac{4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8)}{x^{4}}$ 。

$\frac{2 (4 x^{4} - 3 (x^{4} - 8))}{x^{4}}$

解题步骤 2.10

化简。

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解题步骤 2.10.1

运用分配律。

$\frac{2 (4 x^{4} - 3 x^{4} - 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

解题步骤 2.10.2

运用分配律。

$\frac{2 (4 x^{4}) + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

解题步骤 2.10.3

化简分子。

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解题步骤 2.10.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.3.1.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 x^{4} + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 2 (- 3 \cdot - 8)}{x^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.3

乘以 $2 (- 3 \cdot - 8)$ 。

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解题步骤 2.10.3.1.3.1

将 $- 3$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 2 \cdot 24}{x^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.3.2

将 $2$ 乘以 $24$ 。

$\frac{8 x^{4} - 6 x^{4} + 48}{x^{4}}$

解题步骤 2.10.3.2

从 $8 x^{4}$ 中减去 $6 x^{4}$ 。

$\frac{2 x^{4} + 48}{x^{4}}$

解题步骤 2.10.4

从 $2 x^{4} + 48$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.10.4.1

从 $2 x^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{4}) + 48}{x^{4}}$

解题步骤 2.10.4.2

从 $48$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 x^{4} + 2 \cdot 24}{x^{4}}$

解题步骤 2.10.4.3

从 $2 x^{4} + 2 \cdot 24$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} + 24)}{x^{4}}$

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