微积分学示例

$\cot (y) = x - y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (\cot (y)) = \frac{d}{d y} (x - y)$

解题步骤 2

$\cot (y)$ 对 $y$ 的导数为 $- \csc^{2} (y)$ 。

$- \csc^{2} (y)$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x - y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ 。

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$x' + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d y} [- y]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$x' - \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x' - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x' - 1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- \csc^{2} (y) = x' - 1$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $x' - 1 = - \csc^{2} (y)$ 。

$x' - 1 = - \csc^{2} (y)$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $x'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$x' = - \csc^{2} (y) + 1$

解题步骤 5.2.2

从 $- \csc^{2} (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = - (\csc^{2} (y)) + 1$

解题步骤 5.2.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$x' = - \csc^{2} (y) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.2.4

从 $- \csc^{2} (y) - 1 \cdot - 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = - (\csc^{2} (y) - 1)$

解题步骤 5.2.5

使用勾股恒等式。

$x' = - \cot^{2} (y)$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = - \cot^{2} (y)$

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