微积分学示例

$y = \frac{3 x \sin (x)}{2 + \cos (x)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x \sin (x)}{2 + \cos (x)})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x \sin (x)}{2 + \cos (x)}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{x \sin (x)}{2 + \cos (x)}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x \sin (x)}{2 + \cos (x)}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 + \cos (x)$ 。

$3 \frac{(2 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

根据加法法则， $2 + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.5.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 相加。

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.6

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.7

乘。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.8

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.9

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.12

组合 $3$ 和 $\frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$ 。

$\frac{3 ((2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13

化简。

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解题步骤 3.13.1

运用分配律。

$\frac{3 ((2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2

化简分子。

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解题步骤 3.13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.13.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ 。

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解题步骤 3.13.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{3 (2 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x))) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{3 (2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x))) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{3 (2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2.1.2

乘以 $\cos (x) (x \cos (x))$ 。

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解题步骤 3.13.2.1.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2.1.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2.1.3

运用分配律。

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (2 \sin (x)) + 3 (x \cos^{2} (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2.1.4

化简。

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解题步骤 3.13.2.1.4.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 (x \cos (x)) + 3 (2 \sin (x)) + 3 (x \cos^{2} (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2.1.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 (x \cos (x)) + 6 \sin (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x \sin^{2} (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2.2

移动 $3 x \sin^{2} (x)$ 。

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 x \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2.3

从 $3 x \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\cos^{2} (x)) + 3 x \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2.4

从 $3 x \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\cos^{2} (x)) + 3 x (\sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2.5

从 $3 x (\cos^{2} (x)) + 3 x (\sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2.6

重新整理项。

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2.7

使用勾股恒等式。

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x \cdot 1 + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.2.8

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.3

重新排序项。

$\frac{6 x \cos (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.4

从 $6 x \cos (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x + 6 \sin (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.13.4.1

从 $6 x \cos (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.4.2

从 $3 \cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 x + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.4.3

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x) + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.4.4

从 $6 \sin (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x) + 3 (2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.4.5

从 $3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x) + 3 (2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.4.6

从 $3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x) + 3 (2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.13.4.7

从 $3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x) + 3 (2 \sin (x))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

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