微积分学示例

$y = 2 x^{2} - \sqrt{x} + \frac{5}{x^{2}} + 6$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = 2 x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 6$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 6)$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $2 x^{2} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{x^{2}} + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.3.5

在公分母上合并分子。

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.3.6

化简分子。

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解题步骤 4.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$4 x - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.3.7

将负号移到分数的前面。

$4 x - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.3.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$4 x - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.3.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 4.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.4.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.4.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.4.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.4.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.4.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.4.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.4.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.4.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.4.10

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.5

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 x^{- 3} + 0$

解题步骤 4.6

化简。

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解题步骤 4.6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 10 \frac{1}{x^{3}} + 0$

解题步骤 4.6.2

合并项。

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解题步骤 4.6.2.1

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 10}{x^{3}} + 0$

解题步骤 4.6.2.2

将负号移到分数的前面。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{x^{3}} + 0$

解题步骤 4.6.2.3

将 $4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{x^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$4 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{10}{x^{3}}$

解题步骤 4.6.3

重新排序项。

$4 x - \frac{10}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 4 x - \frac{10}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 4 x - \frac{10}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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