微积分学示例

$(1 - e^{z}) (z + e^{z})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 等于 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ，其中 $f (z) = 1 - e^{z}$ 且 $g (z) = z + e^{z}$ 。

$(1 - e^{z}) \frac{d}{d z} [z + e^{z}] + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $z + e^{z}$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]$ 。

$(1 - e^{z}) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(1 - e^{z}) (1 + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ 等于 $a^{z} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $1 - e^{z}$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}]$ 。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

解题步骤 4.2

因为 $1$ 对于 $z$ 是常数，所以 $1$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (0 + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d z} [- e^{z}]$ 相加。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [- e^{z}]$

解题步骤 4.4

因为 $- 1$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- e^{z}$ 对 $z$ 的导数是 $- \frac{d}{d z} [e^{z}]$ 。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- \frac{d}{d z} [e^{z}])$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ 等于 $a^{z} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- e^{z})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} (- e^{z})$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

通过指数相加将 $e^{z}$ 乘以 $e^{z}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

移动 $e^{z}$ 。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} e^{z} \cdot - 1$

解题步骤 6.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z + z} \cdot - 1$

解题步骤 6.2.1.3

将 $z$ 和 $z$ 相加。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{2 z} \cdot - 1$

解题步骤 6.2.2

将 $- 1$ 移到 $e^{2 z}$ 的左侧。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - 1 \cdot e^{2 z}$

解题步骤 6.2.3

将 $- 1 e^{2 z}$ 重写为 $- e^{2 z}$ 。

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - e^{2 z}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$(1 + e^{z}) (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

解题步骤 6.4

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + e^{z}) (1 - e^{z})$ 。

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解题步骤 6.4.1.1

运用分配律。

$1 (1 - e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

解题步骤 6.4.1.2

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

解题步骤 6.4.1.3

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

解题步骤 6.4.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

解题步骤 6.4.2.1.2

将 $- e^{z}$ 乘以 $1$ 。

$1 - e^{z} + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

解题步骤 6.4.2.1.3

将 $e^{z}$ 乘以 $1$ 。

$1 - e^{z} + e^{z} + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

解题步骤 6.4.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z} e^{z} - e^{z} z - e^{2 z}$

解题步骤 6.4.2.1.5

通过指数相加将 $e^{z}$ 乘以 $e^{z}$ 。

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解题步骤 6.4.2.1.5.1

移动 $e^{z}$ 。

$1 - e^{z} + e^{z} - (e^{z} e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

解题步骤 6.4.2.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z + z} - e^{z} z - e^{2 z}$

解题步骤 6.4.2.1.5.3

将 $z$ 和 $z$ 相加。

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

解题步骤 6.4.2.2

将 $- e^{z}$ 和 $e^{z}$ 相加。

$1 + 0 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

解题步骤 6.4.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

解题步骤 6.5

从 $- e^{2 z}$ 中减去 $e^{2 z}$ 。

$1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$

解题步骤 6.6

将 $1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$ 中的因式重新排序。

$1 - z e^{z} - 2 e^{2 z}$

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