微积分学示例

$\int_{x^{4}}^{x^{5}} {(2 t - 1)}^{3} d t$

解题步骤 1

使用二项式定理。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} {(2 t)}^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

对 $2 t$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 2^{3} t^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

解题步骤 2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

解题步骤 2.3

对 $2 t$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 3 (2^{2} t^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

解题步骤 2.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 3 (4 t^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

解题步骤 2.5

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} + 12 t^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

解题步骤 2.6

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

解题步骤 2.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} d t]$

解题步骤 2.9

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t + {(- 1)}^{3} d t]$

解题步骤 2.10

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

解题步骤 3

将积分拆分为两个积分，其中 $c$ 是 $x^{4}$ 和 $x^{5}$ 之间的某个值。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t + \int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

解题步骤 4

根据加法法则， $\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t + \int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{4}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

解题步骤 5

交换积分的上下界。

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x^{4}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

解题步骤 6

使用微积分基本定理和链式法则，取 $- \int_{c}^{x^{4}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

解题步骤 8

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{c}^{x^{5}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ 对 $x$ 的导数。

$4 x^{3} (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + \frac{d}{d x} [x^{5}] (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

解题步骤 9

使用幂法则求微分。

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解题步骤 9.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$4 x^{3} (- (8 {(x^{4})}^{3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

解题步骤 9.2

化简表达式。

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解题步骤 9.2.1

将 ${(x^{4})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 x^{3} (- (8 x^{4 \cdot 3} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

解题步骤 9.2.1.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$4 x^{3} (- (8 x^{12} - 12 {(x^{4})}^{2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

解题步骤 9.2.2

将 ${(x^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 x^{3} (- (8 x^{12} - 12 x^{4 \cdot 2} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

解题步骤 9.2.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} (- (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1)) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

解题步骤 9.2.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 {(x^{5})}^{3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

解题步骤 9.2.4

将 ${(x^{5})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{5 \cdot 3} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

解题步骤 9.2.4.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 {(x^{5})}^{2} + 6 x^{5} - 1)$

解题步骤 9.2.5

将 ${(x^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 x^{5 \cdot 2} + 6 x^{5} - 1)$

解题步骤 9.2.5.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$- 4 x^{3} (8 x^{12} - 12 x^{8} + 6 x^{4} - 1) + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 x^{10} + 6 x^{5} - 1)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$- 4 x^{3} (8 x^{12}) - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15} - 12 x^{10} + 6 x^{5} - 1)$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$- 4 x^{3} (8 x^{12}) - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3

合并项。

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解题步骤 10.3.1

将 $8$ 乘以 $- 4$ 。

$- 32 x^{3} x^{12} - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{12}$ 。

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解题步骤 10.3.2.1

移动 $x^{12}$ 。

$- 32 (x^{12} x^{3}) - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 32 x^{12 + 3} - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.2.3

将 $12$ 和 $3$ 相加。

$- 32 x^{15} - 4 x^{3} (- 12 x^{8}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.3

将 $- 12$ 乘以 $- 4$ 。

$- 32 x^{15} + 48 x^{3} x^{8} - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{8}$ 。

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解题步骤 10.3.4.1

移动 $x^{8}$ 。

$- 32 x^{15} + 48 (x^{8} x^{3}) - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 32 x^{15} + 48 x^{8 + 3} - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.4.3

将 $8$ 和 $3$ 相加。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 4 x^{3} (6 x^{4}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.5

将 $6$ 乘以 $- 4$ 。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{3} x^{4} - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.6

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 10.3.6.1

移动 $x^{4}$ 。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 (x^{4} x^{3}) - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{4 + 3} - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.6.3

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} - 4 x^{3} \cdot - 1 + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.7

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 5 x^{4} (8 x^{15}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.8

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{4} x^{15} + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.9

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{15}$ 。

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解题步骤 10.3.9.1

移动 $x^{15}$ 。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 (x^{15} x^{4}) + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{15 + 4} + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.9.3

将 $15$ 和 $4$ 相加。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} + 5 x^{4} (- 12 x^{10}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.10

将 $- 12$ 乘以 $5$ 。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{4} x^{10} + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.11

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{10}$ 。

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解题步骤 10.3.11.1

移动 $x^{10}$ 。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 (x^{10} x^{4}) + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{10 + 4} + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.11.3

将 $10$ 和 $4$ 相加。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 5 x^{4} (6 x^{5}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.12

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{4} x^{5} + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.13

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 10.3.13.1

移动 $x^{5}$ 。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 (x^{5} x^{4}) + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.13.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{5 + 4} + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.13.3

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{9} + 5 x^{4} \cdot - 1$

解题步骤 10.3.14

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 32 x^{15} + 48 x^{11} - 24 x^{7} + 4 x^{3} + 40 x^{19} - 60 x^{14} + 30 x^{9} - 5 x^{4}$

解题步骤 10.4

重新排序项。

$40 x^{19} - 32 x^{15} - 60 x^{14} + 48 x^{11} + 30 x^{9} - 24 x^{7} - 5 x^{4} + 4 x^{3}$

微积分学 示例

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