微积分学示例

$x \sqrt{y} = 1$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$x y^{\frac{1}{2}} = 1$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y^{\frac{1}{2}}$ 。

$x \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.7

将负号移到分数的前面。

$x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.10

组合 $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.11

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} y' + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.12

组合 $\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y'$ 。

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 3.14

将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.1

求每项中都有的公因数 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2

代入 $u$ 替换 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

解题步骤 6.3

求解 $u$ 。

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解题步骤 6.3.1

化简分母。

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解题步骤 6.3.1.1

对 $x {y'}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2 x^{2} {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

解题步骤 6.3.1.2

将 ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

解题步骤 6.3.1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

解题步骤 6.3.1.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{1}} + u = 0$

解题步骤 6.3.1.3

化简。

$\frac{1}{2 x^{2} y'} + u = 0$

解题步骤 6.3.2

从等式两边同时减去 $\frac{1}{2 x^{2} y'}$ 。

$u = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

解题步骤 6.4

代入 $y'$ 替换 $u$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

解题步骤 6.5

从等式两边同时减去 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.6

两边同时乘以 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.7

化简。

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解题步骤 6.7.1

化简左边。

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解题步骤 6.7.1.1

化简 $\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 6.7.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.7.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.7.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.7.1.1.3

约去 $y^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.7.1.1.3.2

重写表达式。

$x y' = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.7.2

化简右边。

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解题步骤 6.7.2.1

化简 $- y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 6.7.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.7.2.1.2

通过指数相加将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.7.2.1.2.1

移动 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$x y' = - 1 \cdot 2 (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.7.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 6.7.2.1.2.3

在公分母上合并分子。

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1 + 1}{2}}$

解题步骤 6.7.2.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 6.7.2.1.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{1}$

解题步骤 6.7.2.1.3

化简 $- 1 \cdot 2 y^{1}$ 。

$x y' = - 1 \cdot 2 y$

解题步骤 6.7.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x y' = - 2 y$

解题步骤 6.8

将 $x y' = - 2 y$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 6.8.1

将 $x y' = - 2 y$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

解题步骤 6.8.2

化简左边。

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解题步骤 6.8.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

解题步骤 6.8.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 y}{x}$

解题步骤 6.8.3

化简右边。

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解题步骤 6.8.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2 y}{x}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x}$

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