微积分学示例

$\sum_{n = 1}^{4} {(\frac{1}{2})}^{n + 1}$

解题步骤 1

展开 $n$ 每个取值的序列。

${(\frac{1}{2})}^{1 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{2 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

解题步骤 2.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

解题步骤 2.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

解题步骤 2.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

解题步骤 2.1.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

解题步骤 2.1.6

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{4} + \frac{1^{3}}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

解题步骤 2.1.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{4} + \frac{1}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

解题步骤 2.1.8

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

解题步骤 2.1.9

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + {(\frac{1}{2})}^{4} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

解题步骤 2.1.10

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1^{4}}{2^{4}} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

解题步骤 2.1.11

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{4}} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

解题步骤 2.1.12

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + {(\frac{1}{2})}^{4 + 1}$

解题步骤 2.1.13

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + {(\frac{1}{2})}^{5}$

解题步骤 2.1.14

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1^{5}}{2^{5}}$

解题步骤 2.1.15

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{5}}$

解题步骤 2.1.16

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$

解题步骤 2.2

求公分母。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{8}{4 \cdot 8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{8}{4 \cdot 8} + \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$

解题步骤 2.2.4

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{8}{4 \cdot 8} + \frac{4}{8 \cdot 4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$

解题步骤 2.2.5

将 $\frac{1}{16}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{8}{4 \cdot 8} + \frac{4}{8 \cdot 4} + \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{32}$

解题步骤 2.2.6

将 $\frac{1}{16}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{8}{4 \cdot 8} + \frac{4}{8 \cdot 4} + \frac{2}{16 \cdot 2} + \frac{1}{32}$

解题步骤 2.2.7

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$\frac{8}{32} + \frac{4}{8 \cdot 4} + \frac{2}{16 \cdot 2} + \frac{1}{32}$

解题步骤 2.2.8

重新排序 $8 \cdot 4$ 的因式。

$\frac{8}{32} + \frac{4}{4 \cdot 8} + \frac{2}{16 \cdot 2} + \frac{1}{32}$

解题步骤 2.2.9

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$\frac{8}{32} + \frac{4}{32} + \frac{2}{16 \cdot 2} + \frac{1}{32}$

解题步骤 2.2.10

重新排序 $16 \cdot 2$ 的因式。

$\frac{8}{32} + \frac{4}{32} + \frac{2}{2 \cdot 16} + \frac{1}{32}$

解题步骤 2.2.11

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$\frac{8}{32} + \frac{4}{32} + \frac{2}{32} + \frac{1}{32}$

解题步骤 2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{8 + 4 + 2 + 1}{32}$

解题步骤 2.4

将 $8$ 和 $4$ 相加。

$\frac{12 + 2 + 1}{32}$

解题步骤 2.5

将 $12$ 和 $2$ 相加。

$\frac{14 + 1}{32}$

解题步骤 2.6

将 $14$ 和 $1$ 相加。

$\frac{15}{32}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{15}{32}$

小数形式：

$0.46875$

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