微积分学示例

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{2}{3} {(- \frac{1}{5})}^{n - 1}$

解题步骤 1

展开 $n$ 每个取值的序列。

$\frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{1 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{0} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.2.1

对 $- \frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{5})}^{0}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.2.2

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{5^{0}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{2}{3} \cdot (1 \frac{1^{0}}{5^{0}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.4

将 $\frac{1^{0}}{5^{0}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1^{0}}{5^{0}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.5

合并。

$\frac{2 \cdot 1^{0}}{3 \cdot 5^{0}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5^{0}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.7

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.9

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.10

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.11

化简。

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{5}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.12

乘以 $\frac{2}{3} (- \frac{1}{5})$ 。

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解题步骤 2.1.12.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.12.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3 - 1} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.13

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{2} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.14

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.14.1

对 $- \frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.14.2

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{5^{2}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.15

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot (1 \frac{1^{2}}{5^{2}}) + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.16

将 $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1^{2}}{5^{2}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.17

合并。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 1^{2}}{3 \cdot 5^{2}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.18

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5^{2}} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.19

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 25} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.20

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{3 \cdot 25} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.21

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{4 - 1}$

解题步骤 2.1.22

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{5})}^{3}$

解题步骤 2.1.23

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.23.1

对 $- \frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{5})}^{3})$

解题步骤 2.1.23.2

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{5^{3}})$

解题步骤 2.1.24

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1^{3}}{5^{3}})$

解题步骤 2.1.25

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{5^{3}})$

解题步骤 2.1.26

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{125})$

解题步骤 2.1.27

乘以 $\frac{2}{3} (- \frac{1}{125})$ 。

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解题步骤 2.1.27.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{125}$ 。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{3 \cdot 125}$

解题步骤 2.1.27.2

将 $3$ 乘以 $125$ 。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

解题步骤 2.2

求公分母。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{125}{125}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{125}{125} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{125}{125}$ 。

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2}{15} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{2}{15}$ 乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - (\frac{2}{15} \cdot \frac{25}{25}) + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

解题步骤 2.2.4

将 $\frac{2}{15}$ 乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2}{75} - \frac{2}{375}$

解题步骤 2.2.5

将 $\frac{2}{75}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2}{75} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{375}$

解题步骤 2.2.6

将 $\frac{2}{75}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{2 \cdot 125}{3 \cdot 125} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2 \cdot 5}{75 \cdot 5} - \frac{2}{375}$

解题步骤 2.2.7

将 $3$ 乘以 $125$ 。

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{15 \cdot 25} + \frac{2 \cdot 5}{75 \cdot 5} - \frac{2}{375}$

解题步骤 2.2.8

将 $15$ 乘以 $25$ 。

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{375} + \frac{2 \cdot 5}{75 \cdot 5} - \frac{2}{375}$

解题步骤 2.2.9

重新排序 $75 \cdot 5$ 的因式。

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{375} + \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 75} - \frac{2}{375}$

解题步骤 2.2.10

将 $5$ 乘以 $75$ 。

$\frac{2 \cdot 125}{375} - \frac{2 \cdot 25}{375} + \frac{2 \cdot 5}{375} - \frac{2}{375}$

解题步骤 2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \cdot 125 - 2 \cdot 25 + 2 \cdot 5 - 2}{375}$

解题步骤 2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.4.1

将 $2$ 乘以 $125$ 。

$\frac{250 - 2 \cdot 25 + 2 \cdot 5 - 2}{375}$

解题步骤 2.4.2

将 $- 2$ 乘以 $25$ 。

$\frac{250 - 50 + 2 \cdot 5 - 2}{375}$

解题步骤 2.4.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{250 - 50 + 10 - 2}{375}$

解题步骤 2.5

从 $250$ 中减去 $50$ 。

$\frac{200 + 10 - 2}{375}$

解题步骤 2.6

将 $200$ 和 $10$ 相加。

$\frac{210 - 2}{375}$

解题步骤 2.7

从 $210$ 中减去 $2$ 。

$\frac{208}{375}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{208}{375}$

小数形式：

$0.554\overline{6}$

微积分学 示例

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