微积分学示例

$u = \sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{5}}$

解题步骤 1

将 $t^{5}$ 重写为 ${(t^{2})}^{2} t$ 。

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解题步骤 1.1

因式分解出 $t^{4}$ 。

$\frac{d}{d u} [\sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{4} t}]$

解题步骤 1.2

将 $t^{4}$ 重写为 ${(t^{2})}^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{{(t^{2})}^{2} t}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d u} [\sqrt[5]{t} + 4 (t^{2} \sqrt{t})]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $\sqrt[5]{t} + 4 (t^{2} \sqrt{t})$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d u} [4 (t^{2} \sqrt{t})]$ 。

$\frac{d}{d u} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d u} [4 (t^{2} \sqrt{t})]$

解题步骤 2.3

因为 $\sqrt[5]{t}$ 对于 $u$ 是常数，所以 $\sqrt[5]{t}$ 对 $u$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d u} [4 (t^{2} \sqrt{t})]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d u} [4 (t^{2} \sqrt{t})]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$0 + \frac{d}{d u} [4 (t^{2} t^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 3.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{2 + \frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.4

在公分母上合并分子。

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}]$

解题步骤 3.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.2.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{\frac{4 + 1}{2}}]$

解题步骤 3.2.5.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$0 + \frac{d}{d u} [4 t^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 3.3

因为 $4 t^{\frac{5}{2}}$ 对于 $u$ 是常数，所以 $4 t^{\frac{5}{2}}$ 对 $u$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

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