微积分学示例

$s (t) = \frac{6 t}{\sin (t)}$

解题步骤 1

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{6 t}{\sin (t)}$ 对 $t$ 的导数是 $6 \frac{d}{d t} [\frac{t}{\sin (t)}]$ 。

$6 \frac{d}{d t} [\frac{t}{\sin (t)}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = \sin (t)$ 。

$6 \frac{\sin (t) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\sin^{2} (t)}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \frac{\sin (t) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\sin^{2} (t)}$

解题步骤 3.2

将 $\sin (t)$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{\sin (t) - t \frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\sin^{2} (t)}$

解题步骤 4

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$6 \frac{\sin (t) - t \cos (t)}{\sin^{2} (t)}$

解题步骤 5

组合 $6$ 和 $\frac{\sin (t) - t \cos (t)}{\sin^{2} (t)}$ 。

$\frac{6 (\sin (t) - t \cos (t))}{\sin^{2} (t)}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{6 \sin (t) + 6 (- t \cos (t))}{\sin^{2} (t)}$

解题步骤 6.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{6 \sin (t) - 6 t \cos (t)}{\sin^{2} (t)}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\frac{- 6 t \cos (t) + 6 \sin (t)}{\sin^{2} (t)}$

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