微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{\tan^{2} (x)}$

解题步骤 1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}]$

解题步骤 2

将 $\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}]$

解题步骤 3

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2}]$

解题步骤 4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}]$

解题步骤 5

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cot (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

解题步骤 6.3

使用 $\cot (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

解题步骤 7

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \cot (x) \csc^{2} (x)$

解题步骤 8.2

重新排序 $- 2 \cot (x) \csc^{2} (x)$ 的因式。

$- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

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