微积分学示例

$g (t) = - (\frac{(t^{2} - 2)}{t - 1})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = - 1$ 且 $g (t) = \frac{t^{2} - 2}{t - 1}$ 。

$- \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} - 2}{t - 1}] + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t^{2} - 2$ 且 $g (t) = t - 1$ 。

$- \frac{(t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 2] - (t^{2} - 2) \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $t^{2} - 2$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$ 。

$- \frac{(t - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{2} - 2) \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{(t - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t^{2} - 2) \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 3.3

因为 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{(t - 1) (2 t + 0) - (t^{2} - 2) \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $2 t$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{(t - 1) (2 t) - (t^{2} - 2) \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 移到 $t - 1$ 的左侧。

$- \frac{2 \cdot (t - 1) t - (t^{2} - 2) \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $t - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2) (1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 3.7

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2) (1 + 0)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 3.8

化简表达式。

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解题步骤 3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2) \cdot 1}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 3.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 3.9

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{t^{2} - 2}{t - 1} \cdot 0$

解题步骤 3.10

化简表达式。

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解题步骤 3.10.1

将 $\frac{t^{2} - 2}{t - 1}$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2)}{{(t - 1)}^{2}} + 0$

解题步骤 3.10.2

将 $- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2)}{{(t - 1)}^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2 (t - 1) t - (t^{2} - 2)}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$- \frac{(2 t + 2 \cdot - 1) t - (t^{2} - 2)}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$- \frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 1 t - (t^{2} - 2)}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$- \frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 1 t - t^{2} - - 2}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4

化简分子。

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解题步骤 4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.4.1.1.1

移动 $t$ 。

$- \frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 1 t - t^{2} - - 2}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.1.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$- \frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 1 t - t^{2} - - 2}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{2 t^{2} - 2 t - t^{2} - - 2}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{2 t^{2} - 2 t - t^{2} + 2}{{(t - 1)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

从 $2 t^{2}$ 中减去 $t^{2}$ 。

$- \frac{t^{2} - 2 t + 2}{{(t - 1)}^{2}}$

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