微积分学示例

$\frac{(x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x}{x^{2} - 4 x + 4}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x$ 且 $g (x) = x^{2} - 4 x + 4$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x] - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d}{d x} [(- 2 x^{2} + 2 x - 1) d x] - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $d$ 对于 $x$ 是常数，所以 $(- 2 x^{2} + 2 x - 1) d x$ 对 $x$ 的导数是 $d \frac{d}{d x} [(- 2 x^{2} + 2 x - 1) x]$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d \frac{d}{d x} [(- 2 x^{2} + 2 x - 1) x]) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 2 x^{2} + 2 x - 1$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d ((- 2 x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 2 x - 1])) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d ((- 2 x^{2} + 2 x - 1) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 2 x - 1])) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $- 2 x^{2} + 2 x - 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2} + 2 x - 1 + x \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 2 x - 1])) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $- 2 x^{2} + 2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2} + 2 x - 1 + x (\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2} + 2 x - 1 + x (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2} + 2 x - 1 + x (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.6

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2} + 2 x - 1 + x (- 4 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2} + 2 x - 1 + x (- 4 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2} + 2 x - 1 + x (- 4 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2} + 2 x - 1 + x (- 4 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]))) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2} + 2 x - 1 + x (- 4 x + 2 + 0))) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 4.11

将 $- 4 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2} + 2 x - 1 + x (- 4 x + 2))) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2} + 2 x - 1 + x (- 4 x) + x \cdot 2)) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2}) + d (2 x) + d \cdot - 1 + d (x (- 4 x)) + d (x \cdot 2)) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3

合并项。

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解题步骤 5.3.1

将 $2$ 移到 $d$ 的左侧。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2}) + 2 \cdot d x + d \cdot - 1 + d (x (- 4 x)) + d (x \cdot 2)) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 $- 1$ 移到 $d$ 的左侧。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2}) + 2 d x - 1 \cdot d + d (x (- 4 x)) + d (x \cdot 2)) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1 d$ 重写为 $- d$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2}) + 2 d x - d + d (x (- 4 x)) + d (x \cdot 2)) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2}) + 2 d x - d + d (- 4 (x^{1} x)) + d (x \cdot 2)) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2}) + 2 d x - d + d (- 4 (x^{1} x^{1})) + d (x \cdot 2)) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2}) + 2 d x - d + d (- 4 x^{1 + 1}) + d (x \cdot 2)) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2}) + 2 d x - d + d (- 4 x^{2}) + d (x \cdot 2)) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.8

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2}) + 2 d x - d + d (- 4 x^{2}) + d (2 \cdot x)) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.9

将 $2$ 移到 $d$ 的左侧。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (d (- 2 x^{2}) + 2 d x - d + d (- 4 x^{2}) + 2 \cdot d x) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.10

将 $d$ 和 $- 4$ 重新排序。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (2 d x - d - 2 \cdot d x^{2} - 4 \cdot d x^{2} + 2 d x) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.11

从 $- 2 d x^{2}$ 中减去 $4 d x^{2}$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (2 d x - d - 6 d x^{2} + 2 d x) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.12

将 $2 d x$ 和 $2 d x$ 相加。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (- d - 6 d x^{2} + 4 d x) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 5.4

重新排序项。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (- d - 6 x^{2} d + 4 d x) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $x^{2} - 4 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (- d - 6 x^{2} d + 4 d x) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (- d - 6 x^{2} d + 4 d x) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 7

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 7.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (- d - 6 x^{2} d + 4 d x) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (- d - 6 x^{2} d + 4 d x) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 7.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (- d - 6 x^{2} d + 4 d x) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 8

使用常数法则求导。

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解题步骤 8.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (- d - 6 x^{2} d + 4 d x) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 8.2

将 $2 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (- d - 6 x^{2} d + 4 d x) - (x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (- d - 6 x^{2} d + 4 d x) + (- x^{2} - (- 3 x^{2}) - (2 x) - - 1) d x (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (- d - 6 x^{2} d + 4 d x) + (- x^{2} d - (- 3 x^{2}) d - (2 x) d - - 1 d) x (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.3

运用分配律。

$\frac{(x^{2} - 4 x + 4) (- d - 6 x^{2} d + 4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4

化简分子。

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解题步骤 9.4.1

化简每一项。

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解题步骤 9.4.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} - 4 x + 4) (- d - 6 x^{2} d + 4 d x)$ 。

$\frac{x^{2} (- d) + x^{2} (- 6 x^{2} d) + x^{2} (4 d x) - 4 x (- d) - 4 x (- 6 x^{2} d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2

化简每一项。

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解题步骤 9.4.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x^{2} d + x^{2} (- 6 x^{2} d) + x^{2} (4 d x) - 4 x (- d) - 4 x (- 6 x^{2} d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{2} (x^{2} d) + x^{2} (4 d x) - 4 x (- d) - 4 x (- 6 x^{2} d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 9.4.1.2.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} d - 6 (x^{2} x^{2}) d + x^{2} (4 d x) - 4 x (- d) - 4 x (- 6 x^{2} d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{2 + 2} d + x^{2} (4 d x) - 4 x (- d) - 4 x (- 6 x^{2} d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.3.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + x^{2} (4 d x) - 4 x (- d) - 4 x (- 6 x^{2} d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{2} (d x) - 4 x (- d) - 4 x (- 6 x^{2} d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.4.1.2.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 (x \cdot x^{2}) d - 4 x (- d) - 4 x (- 6 x^{2} d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 9.4.1.2.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 (x^{1} x^{2}) d - 4 x (- d) - 4 x (- 6 x^{2} d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{1 + 2} d - 4 x (- d) - 4 x (- 6 x^{2} d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d - 4 x (- d) - 4 x (- 6 x^{2} d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d - 4 \cdot - 1 x d - 4 x (- 6 x^{2} d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.7

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d + 4 x d - 4 x (- 6 x^{2} d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 9.4.1.2.8.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d + 4 x d - 4 (x^{2} x) (- 6 d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.8.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.4.1.2.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d + 4 x d - 4 (x^{2} x^{1}) (- 6 d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d + 4 x d - 4 x^{2 + 1} (- 6 d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.8.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d + 4 x d - 4 x^{3} (- 6 d) - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.9

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d + 4 x d - 4 \cdot - 6 x^{3} d - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.10

将 $- 4$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d + 4 x d + 24 x^{3} d - 4 x (4 d x) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.11

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.4.1.2.11.1

移动 $x$ 。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d + 4 x d + 24 x^{3} d - 4 (x \cdot x) (4 d) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.11.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d + 4 x d + 24 x^{3} d - 4 x^{2} (4 d) + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.12

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d + 4 x d + 24 x^{3} d - 4 \cdot 4 x^{2} d + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.13

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d + 4 x d + 24 x^{3} d - 16 x^{2} d + 4 (- d) + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.14

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d + 4 x d + 24 x^{3} d - 16 x^{2} d - 4 d + 4 (- 6 x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.15

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d + 4 x d + 24 x^{3} d - 16 x^{2} d - 4 d - 24 (x^{2} d) + 4 (4 d x) + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.2.16

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d + 4 x d + 24 x^{3} d - 16 x^{2} d - 4 d - 24 x^{2} d + 16 d x + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.3

从 $- x^{2} d$ 中减去 $16 x^{2} d$ 。

$\frac{- 17 x^{2} d - 6 x^{4} d + 4 x^{3} d + 4 x d + 24 x^{3} d - 4 d - 24 x^{2} d + 16 d x + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.4

从 $- 17 x^{2} d$ 中减去 $24 x^{2} d$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 4 x^{3} d + 4 x d + 24 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 16 d x + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.5

将 $4 x^{3} d$ 和 $24 x^{3} d$ 相加。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d + 4 x d - 4 d - 41 x^{2} d + 16 d x + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.6

将 $4 x d$ 和 $16 d x$ 相加。

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解题步骤 9.4.1.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 4 d x + 16 d x + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.6.2

将 $4 d x$ 和 $16 d x$ 相加。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + (- x^{2} d x - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.7

化简每一项。

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解题步骤 9.4.1.7.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.4.1.7.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + (- (x \cdot x^{2}) d - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.7.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 9.4.1.7.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + (- (x^{1} x^{2}) d - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + (- x^{1 + 2} d - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.7.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + (- x^{3} d - (- 3 x^{2}) d x - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.7.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.4.1.7.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + (- x^{3} d - (- 3 (x \cdot x^{2})) d - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.7.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 9.4.1.7.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + (- x^{3} d - (- 3 (x^{1} x^{2})) d - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + (- x^{3} d - (- 3 x^{1 + 2}) d - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.7.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + (- x^{3} d - (- 3 x^{3}) d - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.7.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + (- x^{3} d + 3 x^{3} d - (2 x) d x - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.7.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.4.1.7.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + (- x^{3} d + 3 x^{3} d - (2 (x \cdot x)) d - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.7.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + (- x^{3} d + 3 x^{3} d - (2 x^{2}) d - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.7.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + (- x^{3} d + 3 x^{3} d - 2 x^{2} d - - 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.7.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + (- x^{3} d + 3 x^{3} d - 2 x^{2} d + 1 d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.7.7

将 $d$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + (- x^{3} d + 3 x^{3} d - 2 x^{2} d + d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.8

将 $- x^{3} d$ 和 $3 x^{3} d$ 相加。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + (2 x^{3} d - 2 x^{2} d + d x) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.9

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x^{3} d - 2 x^{2} d + d x) (2 x - 4)$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 2 x^{3} d (2 x) + 2 x^{3} d \cdot - 4 - 2 x^{2} d (2 x) - 2 x^{2} d \cdot - 4 + d x (2 x) + d x \cdot - 4}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10

化简每一项。

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解题步骤 9.4.1.10.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.4.1.10.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 2 (x \cdot x^{3}) d \cdot 2 + 2 x^{3} d \cdot - 4 - 2 x^{2} d (2 x) - 2 x^{2} d \cdot - 4 + d x (2 x) + d x \cdot - 4}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 9.4.1.10.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 2 (x^{1} x^{3}) d \cdot 2 + 2 x^{3} d \cdot - 4 - 2 x^{2} d (2 x) - 2 x^{2} d \cdot - 4 + d x (2 x) + d x \cdot - 4}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 2 x^{1 + 3} d \cdot 2 + 2 x^{3} d \cdot - 4 - 2 x^{2} d (2 x) - 2 x^{2} d \cdot - 4 + d x (2 x) + d x \cdot - 4}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.1.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 2 x^{4} d \cdot 2 + 2 x^{3} d \cdot - 4 - 2 x^{2} d (2 x) - 2 x^{2} d \cdot - 4 + d x (2 x) + d x \cdot - 4}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 4 x^{4} d + 2 x^{3} d \cdot - 4 - 2 x^{2} d (2 x) - 2 x^{2} d \cdot - 4 + d x (2 x) + d x \cdot - 4}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.3

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 4 x^{4} d - 8 x^{3} d - 2 x^{2} d (2 x) - 2 x^{2} d \cdot - 4 + d x (2 x) + d x \cdot - 4}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.4.1.10.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 4 x^{4} d - 8 x^{3} d - 2 (x \cdot x^{2}) d \cdot 2 - 2 x^{2} d \cdot - 4 + d x (2 x) + d x \cdot - 4}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 9.4.1.10.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 4 x^{4} d - 8 x^{3} d - 2 (x^{1} x^{2}) d \cdot 2 - 2 x^{2} d \cdot - 4 + d x (2 x) + d x \cdot - 4}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 4 x^{4} d - 8 x^{3} d - 2 x^{1 + 2} d \cdot 2 - 2 x^{2} d \cdot - 4 + d x (2 x) + d x \cdot - 4}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 4 x^{4} d - 8 x^{3} d - 2 x^{3} d \cdot 2 - 2 x^{2} d \cdot - 4 + d x (2 x) + d x \cdot - 4}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 4 x^{4} d - 8 x^{3} d - 4 x^{3} d - 2 x^{2} d \cdot - 4 + d x (2 x) + d x \cdot - 4}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.6

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 4 x^{4} d - 8 x^{3} d - 4 x^{3} d + 8 x^{2} d + d x (2 x) + d x \cdot - 4}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.7

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 4 x^{4} d - 8 x^{3} d - 4 x^{3} d + 8 x^{2} d + 2 d x \cdot x + d x \cdot - 4}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.4.1.10.8.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 4 x^{4} d - 8 x^{3} d - 4 x^{3} d + 8 x^{2} d + 2 d (x \cdot x) + d x \cdot - 4}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.8.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 4 x^{4} d - 8 x^{3} d - 4 x^{3} d + 8 x^{2} d + 2 d x^{2} + d x \cdot - 4}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.10.9

将 $- 4$ 移到 $d x$ 的左侧。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 4 x^{4} d - 8 x^{3} d - 4 x^{3} d + 8 x^{2} d + 2 d x^{2} - 4 d x}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.11

从 $- 8 x^{3} d$ 中减去 $4 x^{3} d$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 4 x^{4} d - 12 x^{3} d + 8 x^{2} d + 2 d x^{2} - 4 d x}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.12

将 $8 x^{2} d$ 和 $2 d x^{2}$ 相加。

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解题步骤 9.4.1.12.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 4 x^{4} d - 12 x^{3} d + 8 d x^{2} + 2 d x^{2} - 4 d x}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.1.12.2

将 $8 d x^{2}$ 和 $2 d x^{2}$ 相加。

$\frac{- 6 x^{4} d + 28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x + 4 x^{4} d - 12 x^{3} d + 10 d x^{2} - 4 d x}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.2

将 $- 6 x^{4} d$ 和 $4 x^{4} d$ 相加。

$\frac{28 x^{3} d - 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x - 2 x^{4} d - 12 x^{3} d + 10 d x^{2} - 4 d x}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.3

从 $28 x^{3} d$ 中减去 $12 x^{3} d$ 。

$\frac{- 4 d - 41 x^{2} d + 20 d x - 2 x^{4} d + 16 x^{3} d + 10 d x^{2} - 4 d x}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4

将 $- 41 x^{2} d$ 和 $10 d x^{2}$ 相加。

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解题步骤 9.4.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{- 4 d - 41 d x^{2} + 10 d x^{2} + 20 d x - 2 x^{4} d + 16 x^{3} d - 4 d x}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.2

将 $- 41 d x^{2}$ 和 $10 d x^{2}$ 相加。

$\frac{- 4 d - 31 d x^{2} + 20 d x - 2 x^{4} d + 16 x^{3} d - 4 d x}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.4.5

从 $20 d x$ 中减去 $4 d x$ 。

$\frac{- 4 d - 31 d x^{2} + 16 d x - 2 x^{4} d + 16 x^{3} d}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.5

重新排序项。

$\frac{- 4 d - 31 x^{2} d + 16 d x - 2 x^{4} d + 16 x^{3} d}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.6

化简分子。

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解题步骤 9.6.1

从 $- 4 d - 31 x^{2} d + 16 d x - 2 x^{4} d + 16 x^{3} d$ 中分解出因数 $d$ 。

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解题步骤 9.6.1.1

从 $- 4 d$ 中分解出因数 $d$ 。

$\frac{d \cdot - 4 - 31 x^{2} d + 16 d x - 2 x^{4} d + 16 x^{3} d}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.6.1.2

从 $- 31 x^{2} d$ 中分解出因数 $d$ 。

$\frac{d \cdot - 4 + d (- 31 x^{2}) + 16 d x - 2 x^{4} d + 16 x^{3} d}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.6.1.3

从 $16 d x$ 中分解出因数 $d$ 。

$\frac{d \cdot - 4 + d (- 31 x^{2}) + d (16 x) - 2 x^{4} d + 16 x^{3} d}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.6.1.4

从 $- 2 x^{4} d$ 中分解出因数 $d$ 。

$\frac{d \cdot - 4 + d (- 31 x^{2}) + d (16 x) + d (- 2 x^{4}) + 16 x^{3} d}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.6.1.5

从 $16 x^{3} d$ 中分解出因数 $d$ 。

$\frac{d \cdot - 4 + d (- 31 x^{2}) + d (16 x) + d (- 2 x^{4}) + d (16 x^{3})}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.6.1.6

从 $d \cdot - 4 + d (- 31 x^{2})$ 中分解出因数 $d$ 。

$\frac{d \cdot (- 4 - 31 x^{2}) + d (16 x) + d (- 2 x^{4}) + d (16 x^{3})}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.6.1.7

从 $d \cdot (- 4 - 31 x^{2}) + d (16 x)$ 中分解出因数 $d$ 。

$\frac{d \cdot (- 4 - 31 x^{2} + 16 x) + d (- 2 x^{4}) + d (16 x^{3})}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.6.1.8

从 $d \cdot (- 4 - 31 x^{2} + 16 x) + d (- 2 x^{4})$ 中分解出因数 $d$ 。

$\frac{d \cdot (- 4 - 31 x^{2} + 16 x - 2 x^{4}) + d (16 x^{3})}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.6.1.9

从 $d \cdot (- 4 - 31 x^{2} + 16 x - 2 x^{4}) + d (16 x^{3})$ 中分解出因数 $d$ 。

$\frac{d (- 4 - 31 x^{2} + 16 x - 2 x^{4} + 16 x^{3})}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.6.2

重新排序项。

$\frac{d (- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}$

解题步骤 9.7

化简分母。

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解题步骤 9.7.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 9.7.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{d (- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 2^{2})}^{2}}$

解题步骤 9.7.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

解题步骤 9.7.1.3

重写多项式。

$\frac{d (- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}^{2}}$

解题步骤 9.7.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{d (- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{{({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 9.7.2

将 ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d (- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{{(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 9.7.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d (- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 9.7.3

使用二项式定理。

$\frac{d (- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 2 + 6 x^{2} {(- 2)}^{2} + 4 x {(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{4}}$

解题步骤 9.7.4

化简每一项。

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解题步骤 9.7.4.1

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d (- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} {(- 2)}^{2} + 4 x {(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{4}}$

解题步骤 9.7.4.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{d (- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 4 + 4 x {(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{4}}$

解题步骤 9.7.4.3

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$\frac{d (- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} + 4 x {(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{4}}$

解题步骤 9.7.4.4

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{d (- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} + 4 x \cdot - 8 + {(- 2)}^{4}}$

解题步骤 9.7.4.5

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d (- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + {(- 2)}^{4}}$

解题步骤 9.7.4.6

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{d (- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16}$

解题步骤 9.7.5

使每一项与二项式定理公式中的项相匹配。

$\frac{d (- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{x^{4} - 4 \cdot 2 x^{3} + 6 \cdot 2^{2} x^{2} - 4 \cdot 2^{3} x + 2^{4}}$

解题步骤 9.7.6

使用二项式定理来对 $x^{4} - 4 \cdot 2 x^{3} + 6 \cdot 2^{2} x^{2} - 4 \cdot 2^{3} x + 2^{4}$ 进行因式分解。

$\frac{d (- 2 x^{4} + 16 x^{3} - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{{(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 9.8

从 $- 2 x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d (- (2 x^{4}) + 16 x^{3} - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{{(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 9.9

从 $16 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d (- (2 x^{4}) - (- 16 x^{3}) - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{{(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 9.10

从 $- (2 x^{4}) - (- 16 x^{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d (- (2 x^{4} - 16 x^{3}) - 31 x^{2} + 16 x - 4)}{{(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 9.11

从 $- 31 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d (- (2 x^{4} - 16 x^{3}) - (31 x^{2}) + 16 x - 4)}{{(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 9.12

从 $- (2 x^{4} - 16 x^{3}) - (31 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d (- (2 x^{4} - 16 x^{3} + 31 x^{2}) + 16 x - 4)}{{(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 9.13

从 $16 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d (- (2 x^{4} - 16 x^{3} + 31 x^{2}) - (- 16 x) - 4)}{{(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 9.14

从 $- (2 x^{4} - 16 x^{3} + 31 x^{2}) - (- 16 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d (- (2 x^{4} - 16 x^{3} + 31 x^{2} - 16 x) - 4)}{{(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 9.15

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$\frac{d (- (2 x^{4} - 16 x^{3} + 31 x^{2} - 16 x) - 1 (4))}{{(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 9.16

从 $- (2 x^{4} - 16 x^{3} + 31 x^{2} - 16 x) - 1 (4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{d (- (2 x^{4} - 16 x^{3} + 31 x^{2} - 16 x + 4))}{{(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 9.17

将 $- (2 x^{4} - 16 x^{3} + 31 x^{2} - 16 x + 4)$ 重写为 $- 1 (2 x^{4} - 16 x^{3} + 31 x^{2} - 16 x + 4)$ 。

$\frac{d (- 1 (2 x^{4} - 16 x^{3} + 31 x^{2} - 16 x + 4))}{{(2 - x)}^{4}}$

解题步骤 9.18

将负号移到分数的前面。

$- \frac{d (2 x^{4} - 16 x^{3} + 31 x^{2} - 16 x + 4)}{{(2 - x)}^{4}}$

微积分学 示例

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