微积分学示例

$\frac{6 - x}{x^{2} + 2 x - 3} \div \frac{x^{2} - 4 x - 12}{x^{2} + 4 x + 3}$

解题步骤 1

要除以一个分数，请乘以其倒数。

$\frac{6 - x}{x^{2} + 2 x - 3} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $2$ 。

$- 1, 3$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{6 - x}{(x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $x^{2} + 4 x + 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $3$ ，和为 $4$ 。

$1, 3$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{6 - x}{(x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 3)}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 4

使用 AC 法来对 $x^{2} - 4 x - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 4$ 。

$- 6, 2$

解题步骤 4.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{6 - x}{(x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 3)}{(x - 6) (x + 2)}$

解题步骤 5

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

从 $(x - 1) (x + 3)$ 中分解出因数 $x + 3$ 。

$\frac{6 - x}{(x + 3) (x - 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 3)}{(x - 6) (x + 2)}$

解题步骤 5.2

从 $(x + 1) (x + 3)$ 中分解出因数 $x + 3$ 。

$\frac{6 - x}{(x + 3) (x - 1)} \cdot \frac{(x + 3) (x + 1)}{(x - 6) (x + 2)}$

解题步骤 5.3

约去公因数。

$\frac{6 - x}{(x + 3) (x - 1)} \cdot \frac{(x + 3) (x + 1)}{(x - 6) (x + 2)}$

解题步骤 5.4

重写表达式。

$\frac{6 - x}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{(x - 6) (x + 2)}$

解题步骤 6

将 $\frac{6 - x}{x - 1}$ 乘以 $\frac{x + 1}{(x - 6) (x + 2)}$ 。

$\frac{(6 - x) (x + 1)}{(x - 1) ((x - 6) (x + 2))}$

解题步骤 7

约去 $6 - x$ 和 $x - 6$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

将 $6$ 重写为 $- 1 (- 6)$ 。

$\frac{(- 1 (- 6) - x) (x + 1)}{(x - 1) ((x - 6) (x + 2))}$

解题步骤 7.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- 1 (- 6) - (x)) (x + 1)}{(x - 1) ((x - 6) (x + 2))}$

解题步骤 7.3

从 $- 1 (- 6) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (- 6 + x) (x + 1)}{(x - 1) ((x - 6) (x + 2))}$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$\frac{- 1 (x - 6) (x + 1)}{(x - 1) (x - 6) (x + 2)}$

解题步骤 7.5

约去公因数。

$\frac{- 1 (x - 6) (x + 1)}{(x - 1) (x - 6) (x + 2)}$

解题步骤 7.6

重写表达式。

$\frac{- 1 (x + 1)}{(x - 1) (x + 2)}$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 2)}$

解题步骤 9

分解分数 $\frac{x + 1}{(x - 1) (x + 2)}$ 成为两个分数。

$- (\frac{x}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x - 1) (x + 2)})$

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