微积分学示例

$f (x) = (10 - 7 x^{2}) (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 10 - 7 x^{2}$ 且 $g (x) = 10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8$ 。

$(10 - 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8] + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) \frac{d}{d x} [10 - 7 x^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [8]) + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) \frac{d}{d x} [10 - 7 x^{2}]$

解题步骤 2.2

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [8]) + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) \frac{d}{d x} [10 - 7 x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [8]) + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) \frac{d}{d x} [10 - 7 x^{2}]$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [8]) + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) \frac{d}{d x} [10 - 7 x^{2}]$

解题步骤 2.5

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{- 2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [8]) + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) \frac{d}{d x} [10 - 7 x^{2}]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} + 6 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [8]) + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) \frac{d}{d x} [10 - 7 x^{2}]$

解题步骤 2.7

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - 12 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [8]) + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) \frac{d}{d x} [10 - 7 x^{2}]$

解题步骤 2.8

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - 12 x^{- 3} + 0) + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) \frac{d}{d x} [10 - 7 x^{2}]$

解题步骤 2.9

将 $30 x^{2} - 12 x^{- 3}$ 和 $0$ 相加。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - 12 x^{- 3}) + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) \frac{d}{d x} [10 - 7 x^{2}]$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $10 - 7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - 12 x^{- 3}) + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}])$

解题步骤 2.11

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - 12 x^{- 3}) + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}])$

解题步骤 2.12

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ 相加。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - 12 x^{- 3}) + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

解题步骤 2.13

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - 12 x^{- 3}) + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) (- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - 12 x^{- 3}) + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) (- 7 (2 x))$

解题步骤 2.15

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - 12 x^{- 3}) + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) (- 14 x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - 12 \frac{1}{x^{3}}) + (10 x^{3} + 6 x^{- 2} + 8) (- 14 x)$

解题步骤 3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - 12 \frac{1}{x^{3}}) + (10 x^{3} + 6 \frac{1}{x^{2}} + 8) (- 14 x)$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - 12 \frac{1}{x^{3}}) + 10 x^{3} (- 14 x) + 6 \frac{1}{x^{2}} (- 14 x) + 8 (- 14 x)$

解题步骤 3.4

合并项。

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解题步骤 3.4.1

组合 $- 12$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} + \frac{- 12}{x^{3}}) + 10 x^{3} (- 14 x) + 6 \frac{1}{x^{2}} (- 14 x) + 8 (- 14 x)$

解题步骤 3.4.2

将负号移到分数的前面。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) + 10 x^{3} (- 14 x) + 6 \frac{1}{x^{2}} (- 14 x) + 8 (- 14 x)$

解题步骤 3.4.3

将 $- 14$ 乘以 $10$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 140 x^{3} x + 6 \frac{1}{x^{2}} (- 14 x) + 8 (- 14 x)$

解题步骤 3.4.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 140 (x^{1} x^{3}) + 6 \frac{1}{x^{2}} (- 14 x) + 8 (- 14 x)$

解题步骤 3.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 140 x^{1 + 3} + 6 \frac{1}{x^{2}} (- 14 x) + 8 (- 14 x)$

解题步骤 3.4.6

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 140 x^{4} + 6 \frac{1}{x^{2}} (- 14 x) + 8 (- 14 x)$

解题步骤 3.4.7

组合 $6$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 140 x^{4} + \frac{6}{x^{2}} (- 14 x) + 8 (- 14 x)$

解题步骤 3.4.8

组合 $- 14$ 和 $\frac{6}{x^{2}}$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 140 x^{4} + \frac{- 14 \cdot 6}{x^{2}} x + 8 (- 14 x)$

解题步骤 3.4.9

将 $- 14$ 乘以 $6$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 140 x^{4} + \frac{- 84}{x^{2}} x + 8 (- 14 x)$

解题步骤 3.4.10

组合 $\frac{- 84}{x^{2}}$ 和 $x$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 140 x^{4} + \frac{- 84 x}{x^{2}} + 8 (- 14 x)$

解题步骤 3.4.11

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.11.1

从 $- 84 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 140 x^{4} + \frac{x \cdot - 84}{x^{2}} + 8 (- 14 x)$

解题步骤 3.4.11.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.11.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 140 x^{4} + \frac{x \cdot - 84}{x \cdot x} + 8 (- 14 x)$

解题步骤 3.4.11.2.2

约去公因数。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 140 x^{4} + \frac{x \cdot - 84}{x \cdot x} + 8 (- 14 x)$

解题步骤 3.4.11.2.3

重写表达式。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 140 x^{4} + \frac{- 84}{x} + 8 (- 14 x)$

解题步骤 3.4.12

将负号移到分数的前面。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 140 x^{4} - \frac{84}{x} + 8 (- 14 x)$

解题步骤 3.4.13

将 $- 14$ 乘以 $8$ 。

$(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 140 x^{4} - \frac{84}{x} - 112 x$

解题步骤 3.4.14

要将 $(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$- 140 x^{4} + \frac{(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) x}{x} - \frac{84}{x} - 112 x$

解题步骤 3.4.15

在公分母上合并分子。

$- 140 x^{4} + \frac{(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) x - 84}{x} - 112 x$

解题步骤 3.4.16

要将 $- 140 x^{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$- 140 x^{4} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) x - 84}{x} - 112 x$

解题步骤 3.4.17

组合 $- 140 x^{4}$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{- 140 x^{4} x}{x} + \frac{(10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) x - 84}{x} - 112 x$

解题步骤 3.4.18

在公分母上合并分子。

$\frac{- 140 x^{4} x + (10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) x - 84}{x} - 112 x$

解题步骤 3.4.19

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 140 (x^{1} x^{4}) + (10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) x - 84}{x} - 112 x$

解题步骤 3.4.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 140 x^{1 + 4} + (10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) x - 84}{x} - 112 x$

解题步骤 3.4.21

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 140 x^{5} + (10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) x - 84}{x} - 112 x$

解题步骤 3.4.22

要将 $- 112 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{- 140 x^{5} + (10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) x - 84}{x} - 112 x \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 3.4.23

组合 $- 112 x$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{- 140 x^{5} + (10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) x - 84}{x} + \frac{- 112 x \cdot x}{x}$

解题步骤 3.4.24

在公分母上合并分子。

$\frac{- 140 x^{5} + (10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) x - 84 - 112 x \cdot x}{x}$

解题步骤 3.4.25

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 140 x^{5} + (10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) x - 84 - 112 (x^{1} x)}{x}$

解题步骤 3.4.26

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 140 x^{5} + (10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) x - 84 - 112 (x^{1} x^{1})}{x}$

解题步骤 3.4.27

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 140 x^{5} + (10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) x - 84 - 112 x^{1 + 1}}{x}$

解题步骤 3.4.28

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 140 x^{5} + (10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) x - 84 - 112 x^{2}}{x}$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + x (10 - 7 x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + (x \cdot 10 + x (- 7 x^{2})) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.2

将 $10$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + (10 \cdot x + x (- 7 x^{2})) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + (10 \cdot x - 7 x \cdot x^{2}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + (10 x - 7 (x^{2} x)) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.4.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + (10 x - 7 (x^{2} x^{1})) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + (10 x - 7 x^{2 + 1}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + (10 x - 7 x^{3}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.5

使用 FOIL 方法展开 $(10 x - 7 x^{3}) (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}})$ 。

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解题步骤 3.6.5.1

运用分配律。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 10 x (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 7 x^{3} (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.5.2

运用分配律。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 10 x (30 x^{2}) + 10 x (- \frac{12}{x^{3}}) - 7 x^{3} (30 x^{2} - \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.5.3

运用分配律。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 10 x (30 x^{2}) + 10 x (- \frac{12}{x^{3}}) - 7 x^{3} (30 x^{2}) - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6

化简每一项。

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解题步骤 3.6.6.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 10 \cdot 30 x \cdot x^{2} + 10 x (- \frac{12}{x^{3}}) - 7 x^{3} (30 x^{2}) - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.6.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 10 \cdot 30 (x^{2} x) + 10 x (- \frac{12}{x^{3}}) - 7 x^{3} (30 x^{2}) - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.6.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 10 \cdot 30 (x^{2} x^{1}) + 10 x (- \frac{12}{x^{3}}) - 7 x^{3} (30 x^{2}) - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 10 \cdot 30 x^{2 + 1} + 10 x (- \frac{12}{x^{3}}) - 7 x^{3} (30 x^{2}) - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 10 \cdot 30 x^{3} + 10 x (- \frac{12}{x^{3}}) - 7 x^{3} (30 x^{2}) - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.3

将 $10$ 乘以 $30$ 。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} + 10 x (- \frac{12}{x^{3}}) - 7 x^{3} (30 x^{2}) - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.6.4.1

将 $- \frac{12}{x^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} + 10 x \frac{- 12}{x^{3}} - 7 x^{3} (30 x^{2}) - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.4.2

从 $10 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} + x \cdot 10 \frac{- 12}{x^{3}} - 7 x^{3} (30 x^{2}) - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.4.3

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} + x \cdot 10 \frac{- 12}{x \cdot x^{2}} - 7 x^{3} (30 x^{2}) - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.4.4

约去公因数。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} + x \cdot 10 \frac{- 12}{x \cdot x^{2}} - 7 x^{3} (30 x^{2}) - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.4.5

重写表达式。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} + 10 \frac{- 12}{x^{2}} - 7 x^{3} (30 x^{2}) - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.5

组合 $10$ 和 $\frac{- 12}{x^{2}}$ 。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} + \frac{10 \cdot - 12}{x^{2}} - 7 x^{3} (30 x^{2}) - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.6

将 $10$ 乘以 $- 12$ 。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} + \frac{- 120}{x^{2}} - 7 x^{3} (30 x^{2}) - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} - 7 x^{3} (30 x^{2}) - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.8

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} - 7 \cdot 30 x^{3} x^{2} - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.9

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.6.9.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} - 7 \cdot 30 (x^{2} x^{3}) - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} - 7 \cdot 30 x^{2 + 3} - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.9.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} - 7 \cdot 30 x^{5} - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.10

将 $- 7$ 乘以 $30$ 。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} - 210 x^{5} - 7 x^{3} (- \frac{12}{x^{3}}) - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.11

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.6.11.1

将 $- \frac{12}{x^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} - 210 x^{5} - 7 x^{3} \frac{- 12}{x^{3}} - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.11.2

从 $- 7 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} - 210 x^{5} + x^{3} \cdot - 7 \frac{- 12}{x^{3}} - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.11.3

约去公因数。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} - 210 x^{5} + x^{3} \cdot - 7 \frac{- 12}{x^{3}} - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.11.4

重写表达式。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} - 210 x^{5} - 7 \cdot - 12 - 84}{x}$

解题步骤 3.6.6.12

将 $- 7$ 乘以 $- 12$ 。

$\frac{- 140 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} - 210 x^{5} + 84 - 84}{x}$

解题步骤 3.6.7

从 $- 140 x^{5}$ 中减去 $210 x^{5}$ 。

$\frac{- 350 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} + 84 - 84}{x}$

解题步骤 3.6.8

从 $84$ 中减去 $84$ 。

$\frac{- 350 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} - \frac{120}{x^{2}} + 0}{x}$

解题步骤 3.6.9

将 $- 350 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} - \frac{120}{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 350 x^{5} - 112 x^{2} + 300 x^{3} - \frac{120}{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.6.10

重新排序项。

$\frac{- 350 x^{5} + 300 x^{3} - 112 x^{2} - \frac{120}{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.6.11

从 $- 350 x^{5} + 300 x^{3} - 112 x^{2} - \frac{120}{x^{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.6.11.1

从 $- 350 x^{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 175 x^{5}) + 300 x^{3} - 112 x^{2} - \frac{120}{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.6.11.2

从 $300 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 175 x^{5}) + 2 (150 x^{3}) - 112 x^{2} - \frac{120}{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.6.11.3

从 $- 112 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 175 x^{5}) + 2 (150 x^{3}) + 2 (- 56 x^{2}) - \frac{120}{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.6.11.4

从 $- \frac{120}{x^{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 175 x^{5}) + 2 (150 x^{3}) + 2 (- 56 x^{2}) + 2 (- \frac{60}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.11.5

从 $2 (- 175 x^{5}) + 2 (150 x^{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 175 x^{5} + 150 x^{3}) + 2 (- 56 x^{2}) + 2 (- \frac{60}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.11.6

从 $2 (- 175 x^{5} + 150 x^{3}) + 2 (- 56 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 175 x^{5} + 150 x^{3} - 56 x^{2}) + 2 (- \frac{60}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.11.7

从 $2 (- 175 x^{5} + 150 x^{3} - 56 x^{2}) + 2 (- \frac{60}{x^{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 175 x^{5} + 150 x^{3} - 56 x^{2} - \frac{60}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.12

要将 $- 175 x^{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 (150 x^{3} - 56 x^{2} - 175 x^{5} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{60}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.13

组合 $- 175 x^{5}$ 和 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 (150 x^{3} - 56 x^{2} + \frac{- 175 x^{5} x^{2}}{x^{2}} - \frac{60}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.14

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (150 x^{3} - 56 x^{2} + \frac{- 175 x^{5} x^{2} - 60}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.15

化简分子。

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解题步骤 3.6.15.1

从 $- 175 x^{5} x^{2} - 60$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 3.6.15.1.1

从 $- 175 x^{5} x^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{2 (150 x^{3} - 56 x^{2} + \frac{5 (- 35 x^{5} x^{2}) - 60}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.15.1.2

从 $- 60$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{2 (150 x^{3} - 56 x^{2} + \frac{5 (- 35 x^{5} x^{2}) + 5 (- 12)}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.15.1.3

从 $5 (- 35 x^{5} x^{2}) + 5 (- 12)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{2 (150 x^{3} - 56 x^{2} + \frac{5 (- 35 x^{5} x^{2} - 12)}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.15.2

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.15.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{2 (150 x^{3} - 56 x^{2} + \frac{5 (- 35 (x^{2} x^{5}) - 12)}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.15.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (150 x^{3} - 56 x^{2} + \frac{5 (- 35 x^{2 + 5} - 12)}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.15.2.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$\frac{2 (150 x^{3} - 56 x^{2} + \frac{5 (- 35 x^{7} - 12)}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.16

要将 $150 x^{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 (- 56 x^{2} + \frac{150 x^{3} x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 (- 35 x^{7} - 12)}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.17

在公分母上合并分子。

$\frac{2 (- 56 x^{2} + \frac{150 x^{3} x^{2} + 5 (- 35 x^{7} - 12)}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.18

化简分子。

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解题步骤 3.6.18.1

从 $150 x^{3} x^{2} + 5 (- 35 x^{7} - 12)$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 3.6.18.1.1

从 $150 x^{3} x^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{2 (- 56 x^{2} + \frac{5 (30 x^{3} x^{2}) + 5 (- 35 x^{7} - 12)}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.18.1.2

从 $5 (30 x^{3} x^{2}) + 5 (- 35 x^{7} - 12)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{2 (- 56 x^{2} + \frac{5 (30 x^{3} x^{2} - 35 x^{7} - 12)}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.18.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.18.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{2 (- 56 x^{2} + \frac{5 (30 (x^{2} x^{3}) - 35 x^{7} - 12)}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.18.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (- 56 x^{2} + \frac{5 (30 x^{2 + 3} - 35 x^{7} - 12)}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.18.2.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2 (- 56 x^{2} + \frac{5 (30 x^{5} - 35 x^{7} - 12)}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.18.3

重新排序项。

$\frac{2 (- 56 x^{2} + \frac{5 (- 35 x^{7} + 30 x^{5} - 12)}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.19

要将 $- 56 x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 (- 56 x^{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 (- 35 x^{7} + 30 x^{5} - 12)}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.20

组合 $- 56 x^{2}$ 和 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 (\frac{- 56 x^{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 (- 35 x^{7} + 30 x^{5} - 12)}{x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.6.21

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \frac{- 56 x^{2} x^{2} + 5 (- 35 x^{7} + 30 x^{5} - 12)}{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.6.22

化简分子。

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解题步骤 3.6.22.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.22.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{2 \frac{- 56 (x^{2} x^{2}) + 5 (- 35 x^{7} + 30 x^{5} - 12)}{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.6.22.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \frac{- 56 x^{2 + 2} + 5 (- 35 x^{7} + 30 x^{5} - 12)}{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.6.22.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 \frac{- 56 x^{4} + 5 (- 35 x^{7} + 30 x^{5} - 12)}{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.6.22.2

运用分配律。

$\frac{2 \frac{- 56 x^{4} + 5 (- 35 x^{7}) + 5 (30 x^{5}) + 5 \cdot - 12}{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.6.22.3

化简。

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解题步骤 3.6.22.3.1

将 $- 35$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 \frac{- 56 x^{4} - 175 x^{7} + 5 (30 x^{5}) + 5 \cdot - 12}{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.6.22.3.2

将 $30$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 \frac{- 56 x^{4} - 175 x^{7} + 150 x^{5} + 5 \cdot - 12}{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.6.22.3.3

将 $5$ 乘以 $- 12$ 。

$\frac{2 \frac{- 56 x^{4} - 175 x^{7} + 150 x^{5} - 60}{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.6.22.4

重新排序项。

$\frac{2 \frac{- 175 x^{7} + 150 x^{5} - 56 x^{4} - 60}{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.7

组合 $2$ 和 $\frac{- 175 x^{7} + 150 x^{5} - 56 x^{4} - 60}{x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{2 (- 175 x^{7} + 150 x^{5} - 56 x^{4} - 60)}{x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.8

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 (- 175 x^{7} + 150 x^{5} - 56 x^{4} - 60)}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 3.9

合并。

$\frac{2 (- 175 x^{7} + 150 x^{5} - 56 x^{4} - 60) \cdot 1}{x^{2} x}$

解题步骤 3.10

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.10.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.10.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (- 175 x^{7} + 150 x^{5} - 56 x^{4} - 60) \cdot 1}{x^{2} x^{1}}$

解题步骤 3.10.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (- 175 x^{7} + 150 x^{5} - 56 x^{4} - 60) \cdot 1}{x^{2 + 1}}$

解题步骤 3.10.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 (- 175 x^{7} + 150 x^{5} - 56 x^{4} - 60) \cdot 1}{x^{3}}$

解题步骤 3.11

将 $2 (- 175 x^{7} + 150 x^{5} - 56 x^{4} - 60)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (- 175 x^{7} + 150 x^{5} - 56 x^{4} - 60)}{x^{3}}$

解题步骤 3.12

从 $- 175 x^{7}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (175 x^{7}) + 150 x^{5} - 56 x^{4} - 60)}{x^{3}}$

解题步骤 3.13

从 $150 x^{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (175 x^{7}) - (- 150 x^{5}) - 56 x^{4} - 60)}{x^{3}}$

解题步骤 3.14

从 $- (175 x^{7}) - (- 150 x^{5})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (175 x^{7} - 150 x^{5}) - 56 x^{4} - 60)}{x^{3}}$

解题步骤 3.15

从 $- 56 x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (175 x^{7} - 150 x^{5}) - (56 x^{4}) - 60)}{x^{3}}$

解题步骤 3.16

从 $- (175 x^{7} - 150 x^{5}) - (56 x^{4})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (175 x^{7} - 150 x^{5} + 56 x^{4}) - 60)}{x^{3}}$

解题步骤 3.17

将 $- 60$ 重写为 $- 1 (60)$ 。

$\frac{2 (- (175 x^{7} - 150 x^{5} + 56 x^{4}) - 1 (60))}{x^{3}}$

解题步骤 3.18

从 $- (175 x^{7} - 150 x^{5} + 56 x^{4}) - 1 (60)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (175 x^{7} - 150 x^{5} + 56 x^{4} + 60))}{x^{3}}$

解题步骤 3.19

将 $- (175 x^{7} - 150 x^{5} + 56 x^{4} + 60)$ 重写为 $- 1 (175 x^{7} - 150 x^{5} + 56 x^{4} + 60)$ 。

$\frac{2 (- 1 (175 x^{7} - 150 x^{5} + 56 x^{4} + 60))}{x^{3}}$

解题步骤 3.20

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 (175 x^{7} - 150 x^{5} + 56 x^{4} + 60)}{x^{3}}$

微积分学 示例

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