微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 4 x}}{4 x + 1}$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

从 $4 x^{2} + 4 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x (x) + 4 x}}{4 x + 1}$

解题步骤 1.1.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x (x) + 4 x (1)}}{4 x + 1}$

解题步骤 1.1.3

从 $4 x (x) + 4 x (1)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x (x + 1)}}{4 x + 1}$

解题步骤 1.2

将 $4 x (x + 1)$ 重写为 $2^{2} (x (x + 1^{2}))$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2^{2} x (x + 1)}}{4 x + 1}$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2^{2} x (x + 1^{2})}}{4 x + 1}$

解题步骤 1.2.3

添加圆括号。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2^{2} (x (x + 1^{2}))}}{4 x + 1}$

解题步骤 1.3

从根式下提出各项。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x (x + 1^{2})}}{4 x + 1}$

解题步骤 1.4

一的任意次幂都为一。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x (x + 1)}}{4 x + 1}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x (x + 1)}}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{1}{x}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x (x + 1)}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x^{2} + x \cdot 1}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{x^{2} + x}}{x}}{4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x^{2} + x}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.5

从 $x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x + x}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.5.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 3.5.4

从 $x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (x + 1)}}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 4

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $\sqrt{x^{2}} = x$ 。

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 5

约去 $x$ 的公因数。

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 6

约去公因数。

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解题步骤 6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{2 \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 7.2

将极限移入根号内。

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 8

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 9

计算极限值。

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解题步骤 9.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 9.1.2

重写表达式。

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 9.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 9.2.2

重写表达式。

$\frac{2 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 9.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 9.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 9.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 10

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 11

计算极限值。

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解题步骤 11.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 11.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x}}$

解题步骤 11.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 11.4

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 12

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \frac{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}{1}}{4 + 0}$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

用 $1 + 0$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 \frac{\sqrt{1 + 0}}{1}}{4 + 0}$

解题步骤 13.2

用 $\sqrt{1 + 0}$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 \sqrt{1 + 0}}{4 + 0}$

解题步骤 13.3

约去 $2$ 和 $4 + 0$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.1

从 $2 \sqrt{1 + 0}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{1 + 0})}{4 + 0}$

解题步骤 13.3.2

约去公因数。

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解题步骤 13.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{1 + 0}}{2 \cdot 2 + 0}$

解题步骤 13.3.2.2

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{1 + 0})}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 0}$

解题步骤 13.3.2.3

从 $2 \cdot 2 + 2 \cdot 0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{1 + 0})}{2 \cdot (2 + 0)}$

解题步骤 13.3.2.4

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{1 + 0}}{2 \cdot (2 + 0)}$

解题步骤 13.3.2.5

重写表达式。

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{2 + 0}$

解题步骤 13.4

化简分子。

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解题步骤 13.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{1}}{2 + 0}$

解题步骤 13.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{2 + 0}$

解题步骤 13.5

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

微积分学 示例

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